让数学思想走进课堂

谢小旺

初中数学课标从以前的双基发展到四基，再到目前的三维目标，其中突出的是要求在课堂上将教材中隐含的数学思想进行渗透和感悟，以提高学生的数学核心素养.同时要将积累到的数学思想应用于双基的学习中去.那么如何让数学思想走进课堂呢？笔者在进行北师大版七年级下册“平方差公式”一节教学时，做了如下的思考和尝试.

一、在激趣设疑中渗透数学思想

在情境导入时，笔者设计这样一个问题：在一个边长为102 cm的正方形纸片中，若是剪下一个边长为98 cm的小正方形，则：（1）剩余的面积怎样表示？（2）你能快速地口算出来吗？

对于（1）孩子们大多能表示出来：1022-982，但（2）肯定是很难快速口算的.笔者这样设计的目的：一方面，是让学生在感兴趣和熟悉的情境之中点燃思维火花;另一方面，引领学生由算数思维过渡到代数思维上，也为下面学习的平方差公式中字母可表示数埋下伏笔，以此渗透公式中字母的取值是可变的数学思想.

二、在公式形成中感悟数学思想

数学思想的渗透是要逐步积累和感悟的.接下来笔者在复习了多项式乘法公式后，让孩子们分组完成如下三组乘法运算练习.

①  （x+3）（x+2），（x-3）（x-2）;

②  （x+3）（x-3），（x+2）（x-2）;

③  （x+y）（x-y），（2a+b）（2a-b）.

分组完成后自主思考如下几个问题：

1.比较①②两组两个相乘的多项式有什么相同点，结果有什么不同之处？为什么会这样？

2.比较②③两组有什么相同点，结果怎样？能否统一用字母或其他符号形式来体现这些特征？

用一系列问题引领学生边做边在小组内交流讨论，应不难发现②③两组的共同点都是两个二项式相乘，其中一项完全相同，另一项则相反，结果等于相同项的平方减相反项的平方，可用字母形式表示为（a+b）（a-b）=a2-b2，甚至有的同学还把特征用（□+△）（□-△）=□2-△2的形式[1]表示.这样通过练习思考，经历由“特殊→一般→特殊”的学习过程得出的方式或者说从中抽象出的数学模型是孩子们自然感悟出来的，而不是由教师强硬灌输的.

3.在变式训练中强化数学思想.

在应用公式进行例题教学后，发现有些同学并不能掌握公式的本质，为此，笔者又设计如下的训练.

练习：判断下列乘法运算哪些能用平方差公式计算.

① （-a+b）（a-b）; ② （-a+b）（-a-b）;

③  x+ 1 2   y- 1 2  ;

④ （2m+n）（m+2n）.

设计意图：使学生更好地弄清公式的本质特征，进一步强化符号意识和模型的数学思想.

4.用几何背景领悟数学思想.

平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2，还可用如下几何图形来解释，以渗透数形结合的数学思想.

a2-b2=（a+b）（a-b）.

摒弃文字，借助图形，不但能使学生的数学形象思维能力得到提升，同时还能使学生感受到数学美，优化学生的数形结合解题能力.

5.巩固知识，深化数学思想.

在完成知识的学习进行巩固时，笔者设计了以下一个问题：

下列式子中，可用平方差公式进行运算的有哪些？

① （4k+3）（4k-3）;

② （-x+1）（-x-2）;

③ （-m-1）（m-1）;

④ （x+3）（-x-3）.

首先，判断上述式子是否与平方差公式相符合，然后将其转化为（ ）2-（ ）2的形式，并化简.

通过这类例题分析，巩固学生对平方差公式结构特征的理解，使其对正确的思维展现有所了解，并能对这类从一般到特殊的数学思想方法的魅力有所感受.

三、引导学生证明平方差公式，强化逻辑思维方法

学生自身所发现的公式，相对于直接给出公式再进行证明而言，无论是思想感情抑或是学习兴趣上都更具吸引力[2].数学创造通常都是以不严格的发散思维为基础，逐渐转化为严格的逻辑分析思维，也就是收敛思维，在具备了一个猜想结果之后，再去证明猜想的正确性，就会转化为学生自己的需要.

如，（a+b）（a-b）=a2+ab-ab-b2=a2-b2.

又如，（a+b）（a-b）=（a+b）a-（a+b）b=a2+ba-ab-b2=a2-b2.

四、结 语

对于学生创新能力的发展而言，提高其数学思想方法水平十分重要.教师在数学思想方法的教学中，应积极创新，为学生营造宽松的民主气氛，使其积极投入到思考、讨论中，有效进行数学思想方法的学习.

【参考文献】

[1]李忠芸，赵继源，阙晓华.初中数学教学中如何渗透数学方法[J].中学数学研究：初中版，2016（3）：6-8.

[2]朱喜松.整式中的数形结合思想——探索平方差公式的几何意义[J].课程教育研究：學法教法研究，2017（5）：116.