农村初级中学数学习题分层设计策略

摘 要：农村初级中学的学生差异比较大，学困生对于基础知识的掌握还存在困难，如果给他们一些难的题目，就会打击其积极性，所以需要设计一些基础性的数学习题帮助他们打好数学基础；中等生掌握了数学基础知识，但是有时不能将数学知识进行迁移，所以他们需要多做些题目，多熟悉一些题型；优等生需要多做一些有挑战性的题目，拓展他们的知识面，甚至可以用中考真题或改编题。含参数函数是最近几年数学中考的热点，学生在解答这些数学习题时经常束手无策，本文以含参数函数为例讲解如何进行数学习题分层设计。

关键词：初中数学；习题；分层设计；函数

农村初级中学有的学生学习目标非常明确，希望能考上重点高中继续学习，而有的学生学习目标不太明确，他们完成家庭作业尚且有困难。为了做到因材施教，教师在命制数学习题时，可以尝试数学习题分层设计，给每个层次的学生设计的数学习题都符合学生最近发展区的要求，使每个学生经过努力都能解出数学习题。根据农村初级中学的学情，给学困生的数学习题以基础性数学习题为主，给中等生的数学习题以基础性+综合性数学习题为主，给优等生的数学习题以综合性+拓展性数学习题为主，具体设计如下：

一、 基础性数学习题设计策略

农村初级中学的学困生大部分或是单亲家庭，或是留守学生，或是理解能力差，他们基本上在家里没有做数学习题的习惯，也没有人在家里监督或辅导他们做数学习题，他们数学基础很差，他们中大部分连小学五年级、六年级数学概念和计算都没有掌握，他们没有具备独立解一道数学习题的能力。教师给他们设计基础性数学习题时要做到：一道数学习题所考查的数学基础知识不超过两个，每个数学基础知识以数学教材母题进行简单变式；考查层次要求大部分是了解的内容，根据公式可以直接代入，计算量小，解题步骤简单；每一种题型先设计一题有完整解题过程的例题给他们模仿，让他们通过重复的机械训练建立知识之间的联系，并通过适量的练习建立独立完成习题的信心。当他们能够很熟练地完成基础性数学习题，或者他们的学习动机增强时，可以让他们做一些比较简单的综合性数学习题，提高他们解数学习题的能力，让他们在每一次数学考试中都能感觉自己数学成绩在不断进步，增强他们学习数学的信心。以下是针对学困生设计的一道习题：

已知点M（0，2）、N（1，0）在y=x2+mx+n的图象上，以下是我们班小微同学求该函数解析式的过程：

解：∵点M（0，2）、N（1，0）在y=x2+mx+n的图象上

∴n=21+m+n=0，解得m=-3n=2

∴该函数解析式为y=x2-3x+2

已知点M（0，1）、N（2，0）在y=x2+mx+n的图象上，你能模仿小薇的解题过程求该函数解析式吗？

如果在没有例题的情况下学困生无法单独解这道题，但他们通过模仿例题的解题过程，只要弄清楚点M、N的横坐标、纵坐标分别对应的是y=x2+mx+n中的x和y这两个字母，分别将这两个点的坐标代入该函数关系式中，就可以得到一个含有参数m、n的二元一次方程组，解这个方程组就可以得到答案，同时也要考虑学困生计算能力比较差，在设计数学习题时计算量要比较小。多设计一些类似的习题，就可以让学困生对含参数函数哪些是已知数、哪些是未知数多些思考：如果有1个参数，则至少需要列出1个方程；如果有两个参数，则至少要列出两个方程。

二、 综合性数学习题设计策略

农村初级中学的中等生主要有：学习勤奋但理解能力比较差的学生、学习方法不对的学生、理解能力比较好同时比较贪玩经常作业没做的学生、以前不用功学习造成数学基础差现在想认真学习的学生。教师在给他们设计综合性数学习题时要做到：同一道数学习题所考查的数学定理、公式、概念等要两个或两个以上；考查层次要求大部分是理解和掌握的内容；题型可以多些变化，难度中等，每个题型命制2-3题比较适合，最好对数学教材母題或中考真题进行变式；培养他们在解数学习题前先复习教材内容，做到解一题数学习题，总结类似数学习题的解法，再做一题该数学题的变式题，复习这种类型数学习题的常规解法；应注意给予中等生更多的帮助，每题数学习题设计三个小题，难度逐渐上升，研究问题方法由特殊到一般，在第（2）小题设计好铺垫方便中等生解第（3）小题。另外，因为教师个人精力有限，不可能对学生的数学习题都设计得完美无缺，这时教师要充分利用分层的优势，提倡学生自己设计数学习题，教师指导优等生对课堂数学例题进行变式，让优等生给中等生命制数学习题，每次优等生命制完数学习题后，让优等生先自己互相检查，再交给教师审核，教师审核通过后的数学习题才能给中等生做，中等生做完数学习题后要写出对数学习题的评价再反馈给优等生，每周分别评选一位优秀命题者和一位优秀习题评价者。不搞题海战术，例如教师在设计含参数函数习题时，要根据学生对所学含参数函数的理解、掌握程度以及学生能否灵活变通地运用函数相关知识来命制数学习题。以下是教师课堂例题与学生对课堂例题进行变式设计的数学习题：

证明：抛物线y=nx2-2（n-1）x+n-2与x轴总有两个公共点。

学生对例题变式（1）：已知抛物线y=nx2-2（n-1）x+n与x轴只有一个公共点时，求n的值。

学生对例题变式（2）：已知直线y=x-3经过抛物线y=nx2-2（n-1）x+n的顶点，求n的值。

对于这类习题来说，就不是单纯地用函数公式就能解决的，在解题的过程中，需要利用数形结合的数学基本思想。学生解答（1）时，需要了解二次函数y=nx2-2（n-1）x+n的图象和x轴只有一个公共点时，对应的一元二次方程nx2-2（n-1）x+n=0有实数根，满足

SymbolDA@ =（-2n+2）2-4n2=0且n≠0；学生解答（2）时，需要根据二次函数的一般式[y=nx2-2（n-1）x+n]，通过用配方法或公式法求出该抛物线的顶点坐标，而这个顶点坐标的横坐标x，纵坐标y满足直线解析式y=x-3的关系，所以就可以求出n。从这两道学生设计的变式题中可以看出，学生在设计综合性数学习题时，能注意函数知识与其他知识的联系，做到题型多样化。

三、 拓展性数学习题设计策略

农村初级中学的优等生是相对于中等生、学困生而言的一个学生群体，他们有“三强”，即上进心强，求知欲强，自学能力也强，这类学生对自己的要求很高，他们希望每次考试数学题目都能解得出来，对自己将来也有比较好的计划，是希望可以考上重点高中继续学习的一群人。教师在给他们设计拓展性数学习题时要做到：习题考查的数学基础知识要尽量多；习题要明确培养他们数学应用能力、数学创新能力，锻炼他们数学基本思想等；考查层次要求大部分是掌握和运用的内容；教师应本着帮助优等生的原则，以《义务教育数学课程标准（2011版）》和《福建省初中数学学科教学与考试指导意见》为依据，并根据优等生的需要进行知识拓展，选择近几年全国各地中考数学真题或对中考数学真题进行改编，从而设计出题量少但质量高且有一定难度的数学习题，从而能让优等生见多识广。以下是2018年福建省中考数学试卷（A卷）第25题改编题：

已知点Q（0，-2）在二次函数y=ax2+bx+c图象上，点A（x1，y1），B（x2，y2）是该函数图象上任意不同两点，且满足：当x1y2；当0

（1） 求b，c的值；

（2） 若圆心是坐标原点O，半径是2的圆与该函数图象的另两个交点是C，D，且∠QCD=60°。

①求该函数的解析式；

②将线段OQ绕点Q旋转180°到EQ，过点A作AH⊥y轴于H，在AH延长线上截取FH=AH，若O，A，B三点在同一条直线上，求证：点F在直线EB上。

由这道习题可以看到，对于优等生的数学习题设计一定要以帮助他们拓宽视野，发展他们数学思维能力、培养他们创新意识等为主；让他们在做习题的过程中感悟数学思想、熟悉中考题型、更好地综合运用所学数学知识为目标，让学生能在数学考试中取得好成績。

基础性数学习题、综合性数学习题、拓展性数学习题是教师根据农村初级中学学生对数学知识的掌握情况进行针对性的设计，关注农村学生个体差异，使他们在解数学习题的过程中，既让学困生在数学学习中收获到成功的喜悦，又给中等生和优等生提供了更好提高数学解题能力的机会，使他们各有所需，各有所得，找到各自的价值。

参考文献：

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[3]吴显峰.初中数学中分层教学的具体应用研究[J].数理化解题研究，2017，35：44-45.

[4]王林林.分层教学在初中数学教学中的应用研究[J].读与写（教育教学刊），2015，1204：120.

作者简介：

张国鑫，福建省福州市，福建省福州市闽清县文定初级中学。