基于EMD和小波包能量法的信号去噪

赵 超，杨庆东

(北京信息科技大学 机电工程学院，北京 100192)

0 引言

在机械设备复杂的工况环境中，噪声对机械信号特征提取造成了严重障碍，信号去噪成为信号分析中的关键一步。Huang等[1]提出的经验模态分解(empirical mode decomposition，EMD)方法能对非平稳信号进行自适应分解及平稳化处理。该方法将信号分解成单分量成分，通过Hilbert变换揭示信号局部瞬时变化规律，具备自适应性强、多分辨率的特点，在地震信号、语音识别、轴承故障诊断[2]等方面得到广泛应用。小波包分析是小波变换进一步细化的信号处理方法，具有多尺度分解的特性[3]，可有效克服小波分解在高频段频率分辨率及低频段时间分辨率方面的局限性，且随着小波包变换尺度增加，白噪声能量急剧降低，小波包变换对白噪声具备较强的抑制作用。小波包能量法用于信号降噪[4-7]，在水声信号识别、矿山爆破等领域得到广泛应用。

本文结合了EMD和小波包能量法的各自优势，提出了一种基于EMD和小波包能量法的信号去噪方法，并通过仿真实验验证了方法的有效性。

1 EMD理论

EMD信号分解算法根据信号自身的特点,自主地抽取信号内在的固有模态函数(intrinsic mode function，IMF),是一种适用于分析非线性、非平稳信号的方法[8]。在该算法中，抽取合格的IMF分量必须满足2个条件:

1)IMF函数在整个时间范围内，局部极值点和过零点数目必须相等或者相差不超过1个;

2)在任意时刻点，局部上包络线和下包络线的平均值为零。

运用EMD方法对原始信号s(t)进行分解，具体步骤如下：

1)首先找出信号s(t)所有局部极大值点和极小值点；

2)通过三次样条插值法分别将局部极大值点拟合形成数据的上包络线，局部极小值点拟合形成数据的下包络线；

3)将上一步得出的上包络线和下包络线进行求均值运算，得到m1(t)；

4)用信号s(t)减去平均包络m1(t)得到新信号h10(t)。判断h10(t)是否满足合格IMF分量的2个条件，如果满足，则h10(t)就是原始信号的一阶IMF分量;若不满足，则把h10(t)当作新的原始信号s(t)，重复上述4步，直到第k次后得到满足条件的IMF 分量h1k(t)，则h1k(t)就是原始信号的一阶IMF分量。将其定义为c1(t)=h1k(t)；

5)原始信号s(t)减去一阶IMF分量c1(t)得到一个新信号r1(t)；

6)对r1(t)重复以上5步得到c2(t)和r2(t)，按照步骤对原始信号进行n次，得到n个IMF分量和一个残余分量(res)rn(t)。当第n阶IMF分量cn(t)或其残余分量rn(t)小于预设值，或当残余分量rn(t)是单调函数或常量时,信号分解过程停止。经过分解后，原始信号可表示为

(1)

式中ci(t)为第i个IMF分量。

根据以上步骤可以看出，EMD分解方法能对非平稳、非线性信号进行分解，具有自适应性。在“筛分”的过程中，消除了模态波形的叠加，使波形更加对称，其本质是对信号进行平稳化处理。

2 小波包能量法

小波包分解是比小波分解更精细的分解方法，不仅可分解信号高频部分，也可分解信号低频部分，克服了小波仅能对信号的低频部分进一步分解的缺点，提高了时频分辨率。图1为经过3层小波包分解的信号结构图,图2为白噪声分量的能量图。

图1 小波包分解

图2 白噪声能量图

从图1和图2可看出，随着小波包变换层数的增加，白噪声的能量会逐渐减小。运用小波包能量法对信号进行去噪[5]时，首先选定小波基和分解层数n，将信号进行n次小波包分解，在第n层得到2n个小波包，然后对其进行能量计算。能量定义为

(2)

式中：E(n,i)为在分解层数n上第i个节点的能量值；ps(j,n,k)为小波包变换系数。

信号经过小波包n层分解后，求出第n层所有节点的能量值，选取能量值大的N个节点进行信号重构，得到重构信号s′(t)，当重构信号s′(t)和原始信号s(t)之间的均方误差(MSE)数值最小时，实现最优去噪。均方误差定义为

(3)

综上分析，小波包变换对信号的分析能力更强，具有比小波变换更精细的时频局部化和多尺度分辨能力。小波包能量法对白噪声具有抑制作用，在小波包分解过程中，小波包变换层数的增加使白噪声能量迅速减小，能够提高去噪效率。

3 EMD-小波包能量法去噪

结合EMD和小波包能量法的各自特点，本文提出了一种EMD-小波包能量法去噪方法。因为噪声信号往往分布在高频分量中，而低频分量为信号的有效成分；因此，首先对信号进行EMD分解，得到从高频到低频排列的IMF分量和残余分量rn(t)，之后，依据相关分析法判别前几项高频IMF分量是否存在噪声[9]。其相关分析过程如下：

1)互相关分析

原始信号的白噪声在分解前与原始信号的互相关为0，但在分解过程中白噪声也随之产生了变化，使IMF分量中的白噪声与原始信号的互相关不再是0，但是相关性很小。根据互相关系数小于最大互相关系数的1/10来判断IMF分量为噪声分量[10]。互相关系数为

Rs,ci(τ)=E[s(t)ci(t+τ)]

(4)

2)自相关分析

原始信号的白噪声在零点处存在最大自相关，在其余点自相关为0。在EMD分解之后，IMF分量中的白噪声在零点处仍存在最大自相关，其余点的自相关系数迅速衰减接近为0。IMF分量中一般信号的自相关系数在零点处取最大值,在非零点处并不一定为0,而是随时间差τ的变化而变化，衰减速度慢，据此判断IMF分量是否为噪声分量。自相关系数为

Rci(τ)=E[ci(t)ci(t+τ)]

(5)

为了准确表现IMF分量在不同时刻取值的相关程度,使用归一化自相关系数,即

(6)

通过对前几项高频IMF分量进行相关分析，判别并去除噪声分量，将剩余的IMF分量利用小波包能量法去噪，然后对去噪后的IMF分量进行信号重构，实现信号去噪。

EMD-小波包能量法去噪的具体步骤如下：

1)对带有噪声的原始信号s(t)进行EMD分解，得到从高频到低频依序排列的IMF分量和1个残余分量rn(t)；

2)对IMF分量进行相关分析，根据相关系数大小，判定前几个高频分量是否为噪声分量；

3)将确定为噪声的IMF分量去掉，并将剩余的IMF分量分别进行小波包分解(最后一个IMF分量和残余分量rn(t)就不需要进行小波包分解)。

4)对IMF分量小波包分解后的节点求其能量值，并求每个节点能量在分量总能量的占比。

6)将经过小波包能量法去噪得到的IMF分量与最后未作处理的残余分量rn(t)进行信号重构，得到去噪后的信号s′(t)。

4 仿真实验

为了验证EMD-小波包能量法的有效性，本文采用bumps作为原始信号，在此基础上加入白噪声，构成含躁信号，如图3所示。

图3 原始信号与含躁信号

图4 信号EMD分解的IMF分量及残余分量c1～c10、r10

对含躁信号进行EMD自适应分解，得到10个频率从高到低的模态分量c1～c10和1个残余分量r10，如图4所示。对前3个高频IMF分量进行相关分析，根据式(4)求其互相关系数如表1所示，根据式(5)、(6)求其归一化自相关图形如图5所示。

表1 互相关系数

图5 c1～c3分量的归一化自相关系数图

由表1看出IMF分量中的白噪声与原始信号的互相关系数较小，c1、c2分量的互相关系数小于最大互相关系数的1/10，c3分量的互相关系数则大于最大互相关系数的1/10；由图5看出，在零点处存在最大自相关，其余点的归一化自相关系数迅速衰减接近0。c1和c2分量比c3分量的衰减速度快，综上判断c1和c2分量为噪声分量。

对去掉噪声分量后的IMF分量c1～c9进行小波包分解。本文采用db1小波基进行4层小波包分解，然后求出分解后每个节点的能量，并进行归一化处理，如图6所示。

图6 IMF分量及其能量分布

根据能量图，不同节点按照能量百分比进行排列，选取能量比重大的几个节点进行信号重构，使重构信号与原始信号s(t)的均方误差最小，因此选取前4个节点进行重构。

为了验证EMD-小波包能量法去噪效果，我们分别用小波包能量、EMD和EMD-小波包能量法在同等条件下对原始信号s(t)进行去噪处理，结果如图7所示。

图7 3种去噪后的信号

可以看出，EMD-小波包能量法的去噪效果最好。一般评价去噪效果采用信号的信噪比(SNR)和均方根误差(RMSE)作为标准。

信噪比为

sSNR=10lg{∑x(t)2/∑[x(t)-s′(t)]2}

(7)

均方根误差为

(8)

式中：x(t)为原始纯净信号；s′(t)为去噪后的信号；n为数据的长度。

分别对以上3种方法求其信噪比和均方根误差，计算结果如表2所示。从表2可以看出，经过EMD-小波包能量法去噪的信号，在信噪比和均方根误差上都优于其他2种去噪方法。

表2 去噪结果对比

5 结束语

为了去除信号中的白噪声，本文提出了一种将EMD和小波包能量两者结合的去噪方法。利用EMD将信号分解为IMF分量，去除噪声分量，然后将剩余的IMF分量进行小波包能量去噪。本文提出的去噪方法可以有效去除白噪声，便于信号特征提取。仿真结果表明，EMD-小波包能量法相较于EMD和小波包能量法，在信噪比和均方根误差值方面均得到改善，能够有效改善去噪效果，为机械信号特征提取提供了新的技术参考。由于本文的仿真实验仅加入了高斯白噪声，未涉及其他类型的噪声，对其他类型噪声的去噪效果需要进一步研究验证。