关于等腰三角形的分类讨论教学

管甜甜

摘 要：分类讨论是初中数学的重要思想方法，在等腰三角形、函数、方程等内容当中都有所应用，用这种方法的关键是分类的依据要清晰，另一个关键是要对结论进行验证，验证的标准是得出的这个结论能不能满足已知条件。

关键词：等腰三角形；分类讨论；教学实践

等腰三角形是一种特殊的三角形，它的性质比较多，恰当地分类可以提高学生分析问题和解答问题的能力。以下笔者总结了等腰三角形问题中常见的几种需要分类讨论的情况，希望给予学生一定的帮助。

一、关于等腰三角形边的分类

当题目当中給出了三角形的边长，但是没有明确地说哪个边是腰、哪个边是底时，这个时候就需要进行分类了，可以分为两种情况进行讨论：第一种情况是设这个边为腰；第二种情况是设这个边为底。这只是理论上的假设，而实际上这样求出来的两组边长能否组成一个三角形，还要进行验证，而进行验证的标准就是三角形的性质：三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

例如，已知等腰三角形的周长为15，其中一个边长为6，那么它的底边长多少？在解答这个问题的时候，题目当中的关键信息是边长为6的边不确定是腰还是底，这时分类讨论的两种情况分别是：第一种情况是设长为6的边为腰，则另两条边为6，3；第二种情况是设长为6的边为底，则另两条边是4.5，4.5。这时，要验证这样两组边长能不能组成一个三角形，也就是满不满足三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。经验证满足三角形的三边关系定理，所以等腰三角形的底边为6或4.5。

例如，当已知等腰三角形的两个边的边长：一边长是6，另一边长是17，求这个三角形的周长时。很多学生会想到应该分类讨论：第一种情况是设腰为6，底为17时，则三角形的三个边分别是6，6，17，这时要根据三角形的性质进行验证，因为6+6小于17，不符合三角形的性质，这样的三个边组不成三角形，所以这种假设是不成立的。第二种情况是设腰为17，底为6，则三角形的三个边分别是17，17，6，根据三角形的性质进行验证，经验证符合三角形的性质，所以这个三角形是成立的，则其周长为17+17+6=40。

二、关于等腰三角形角的分类

我们都知道在等腰三角形中，因为两个底角相等，所以只要已知一个内角的度数，就能算出其他两个角的度数。当已知顶角或底角时，这个三角形形状是确定的；当已知的内角为直角或钝角是，可以确定这个角就是顶角，因为如果直角或钝角是一个底角的话，那么三个角的和就会大于180°；当已知内角为锐角时，这个三角形的形状其实是不确定的，这时就要进行分类讨论。可以分两种情况，第一种情况是设这个角为底角，第二种情况是设这个角为顶角，当分别求出另外两个角的度数后，还需要检验这两种情况满不满足三角形的基本条件，检验的标准就是三角形内角和为180°，至少有两个角是相等的。

例如，已知等腰三角形的一个角是另一个角的2倍，求这个等腰三角形的三个内角大小时。设一个角是x，另一个角就是2x，这时就要分情况进行讨论了。第一种情况是x为顶角，则另两个角都是2x，根据三角之和为180°，得x+2x+2x=180°，解得x=36°，则这个等腰三角形的三个内角分别是36°，72°，72°。第二种情况是当x为底角时，则另两个角是x，2x，得x+2x+x=180°，解得x=45°，则这个等腰三角形三个内角分别是45°，45°，90°。所以这个等腰三角形的三个内角大小是36°，72°，72°或90°，45°，45°。

三、关于等腰三角形形状的分类

在等腰三角形中，有锐角等腰三角形、直角等腰三角形，也有钝角等腰三角形，锐角三角形的腰上的高在三角形内部，而钝角三角形的腰上的高在三角形的外部，直角等腰三角形腰上高就是另一条腰，所以当三角形的形状不确定时，必须分三种情况进行讨论。第一种情况是设三角形是锐角三角形，第二种情况是设三角形是钝角三角形，第三种情况是设三角形是直角三角形。当然这些都是假设的情况，当确定三角形的各要素后，还要进行验证，除了满足三角形的性质定理以外，还要满足已知条件。

例如，已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是40°，求这个等腰三角形的顶角。因为腰上的高可能是三角形内部，也可能是在三角形的外部，还可能是在三角形的边上，已知条件中说腰上的高与另一腰的夹角是40°，所以就要对三角形的形状进行分类，分三种情况，第一种情况是设△ABC为锐角等腰三角形，其中AB=AC，过B作BD⊥AC于D，则∠ABD为40°，在直角△ABD中，则∠A为90°-40°=50°。第二种情况是设△ABC为钝角等腰三角形，AB=AC，过BD垂直于射线CA于D，则∠ABD=40°，所以∠BAC=130°。第三种情况是设△ABC是直角三角形，AB=AC，则BA就是AC上的高，所以∠ABD是0°，与题目不符。所以这个三角形的顶角是50°或130°。

等腰三角形既符合一般三角形的性质和定理，而且还具有自身的特殊性质，在解答问题时，一定要考虑不同的情况进行分析和讨论，当得出结论之后还要进行验证，因为分情况进行讨论的时候，理论上得出的结论不一定能组成一个三角形，所以还要进行验证。

参考文献：

[1]徐仁杰.等腰三角形中的分类讨论（初二）[J].数理天地（初中版），2017（9）：12-13.

[2]钱荣妹.从等腰三角形压轴问题管窥分类讨论思想[J].中学数学，2014（10）：95-97.