巧用“几何画板” 感悟数学思想*——以数学复习课“平面图形的周长与面积”为例

李玲玲 张正权

(1.合肥市庐阳区教育体育局教研室 安徽合肥 230001)(2.合肥市跃进小学 安徽合肥 230001)

相对于数学新知的教学而言，数学复习课更能体现数学思想的提炼和形成。在数学复习课中，回顾已学过的知识是第一个层次的要求，而第二个层次的要求则是系统地梳理知识并形成知识脉络，由此建构知识体系。但是，这还不是最终目的，最高层次的要求则是提升思想，提炼方法，进而提高数学素养。在苏教版六年级数学下册“平面图形的周长与面积”这一课的教学中，我们可以在整理各个平面图形面积公式的推导过程中注重建立图形之间的内在联系，突出数学的转化思想，让学生对转化的好处、具体方法、特点和灵活应用等完整地加以感受和认识。其中“几何画板”软件的巧妙应用，能够取得化静为动，化抽象为直观的效果，从而有效地凸显了数学本质。

一、复习旧知不重复

复习课区别于新授课的一个显著特征就是量多体大，比如这一课，涉及小学阶段研究的各种平面图形周长及面积的相关知识，每一个周长及面积公式都有一个较为复杂的推导过程，都能独立成一节课的教学内容，现在却要合而为一，其容量之大可想而知，如果停留于知识的重复与罗列，那么势必会显得繁杂，教学效率也会大打折扣。如何使复习课举重若轻，有条不紊，既有深度，又有广度呢？我们必须将重点放在引导学生梳理知识，使知识彼此间建立关联，形成知识网络，引导学生自觉将所学纳入整个知识体系。

数学知识间的关联有些是显而易见的，比如这一课，如果仅将各图形面积公式罗列出来，并且知道每种图形的面积公式是在哪个图形的基础上推导出来的，这种关联显然不够深入，只是点到为止，浮于表面，因此，具体复习每种图形面积的推导过程就是绕不开的“坎儿”，只有在这个过程中才能建立知识之间的内在联系，进而深入体会其中所蕴含的数学思想。但是，这又不可避免地导致复习效率低下，节奏难以掌控等问题，这时候，几何画板的使用就能够很好地解决这些矛盾，既能提高复习效率，又能突出重点，引导学生关注知识间的内在联系。

比如平行四边形，让学生先回忆它的面积公式是怎样推导的，借助于几何画板所提供的便利，将切割平移的过程用动画演示出来，学生很快就能说出将平行四边形转化成长方形，然后重点关注是怎样推导平行四边形面积公式的，思考长方形的长和宽在平行四边形里是什么。教师直接在黑板上板书平行四边形面积公式，并用箭头表示它们之间的关联，这样大大提高了效率，突出了图形之间的内在联系。其他图形的推导过程也都使用几何画板直观而形象地展示，再通过教师的板书将它们之间的内在联系展现出来，形成一个完整的结构性的认知。

最后让学生思考：通过整理，你有什么体会？将学生的关注点引向对转化思想的深入探讨上来。在学生回答的过程中，追问学生：“为什么要把平行四边形转化成长方形呢？这样做有什么好处？”帮助学生体会转化的特点和好处。此时，数学思想不再含而不露，而是和盘托出，成为研究的直接对象。从这一点来说，数学思想或核心素养是可见可教的。

二、引导探究看本质

感悟数学思想是数学复习课的最终目标，《数学课程标准(2011年版)》指出：“数学思想蕴含在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括。”要完成这样的抽象与概括，需要进行多次反复的思考和长时间的积累，到了六年级下册进行知识的系统整理时，就要把数学思想的感悟作为重点，通俗地说就是要让学生形成“透过现象看本质”的能力。

从这节课来看，感悟转化思想则是重点，要使学生体会到转化是数学研究中最常用的一种思想，它能使复杂而未知的问题变为简单而熟悉的内容，可以说转化是探究未知领域的思想利器，透过它能感受到数学思想的无所不在和无往不利。学生在整理各平面图形的面积和周长计算公式的时候已经体会到它的好处和特点，但是我们不能浅尝辄止，而要让学生带着问题去探究，借助于转化去发现本质规律，从而更深刻地体会到转化对于解决数学问题的重要意义。几何画板具备的各种即时互动功能，恰恰能够为师生开展探究活动提供有力的平台。

本节课中教学练习实践的第5题时，在学生发现每组图形“面积不变，周长变了，反之，周长不变，面积却变了”的情况之后，教师可以引导学生深思：这样的发现只能说是外在的现象，而这一现象的内在原因是什么呢？促使学生思考影响面积和周长的关键因素，为接下来的研究埋下伏笔。教学练习实践的第7题时，如果仅限于让学生画出面积相等的几个平面图形，并展示交流的话，最多提炼出画出面积相等图形的具体方法，但与这节课所强调的转化思想并无多少联系，因此，我们还可深入引导学生探究，借助于几何画板的强大交互功能，当场在课件中作图，当画出一个面积是12 cm2的长方形之后，电脑自动算出了它的面积和周长，并显示在图形下面，这时候，让学生思考：怎样将它转化成平行四边形并保持面积不变呢？通过课件演示，拖动顶点将长方形拉斜，变成平行四边形，在保持底和高不变的情况下，继续拉斜，此时，图形下显示的面积仍然是12 cm2，而周长却在不断变化。然后再把平行四边形变成三角形，也不断改变三角形的形状并保持面积不变，梯形也同样。这样的动态演示，师生间互动交流，借助于几何画板进行共同探究，使得问题的本质逐步明朗，也使学生清晰而深刻地体会到“等面积变形”这一转化思想的具体应用，从而抓住了影响面积大小的关键因素，而不被外在形状变化所迷惑。

由此可见，要想促进学生探究数学问题，除了要具备问题意识之外，还必须营造良好的环境，其中最重要的因素就是提供易于操作和探究的工具与平台。几何画板正是研究几何图形的平台，它能方便而有效地促进师生的互动操作和探究，实现与数学课程的深度融合。

三、化虚为实悟思想

正如前文所述，数学思想并非“只可意会不可言传”的，它是可见可教的。当然，这需要在长期的积累应用过程中逐步感悟，这也就意味着积累到一定程度就要水落石出、拨云见日，但是，也并不代表就一定能够水到渠成。比如“极限思想”，往往停留于想象之中，甚至对于小学生而言是无法想象的。这时候对于它的感悟就十分困难，特别是“几何与图形”领域，需要通过丰富的感知，在学生脑中形成清晰而准确的表象，才能促进学生的空间想象能力的培养和提高，从而发展空间观念，所以仅凭想象而没有直观的经验，学生对于“极限思想”的感悟难免模糊和粗糙。这时候，技术手段的使用恰恰能够弥补这一不足，把“极限思想”转化为眼前的形象，学生一目了然，心领神会。

在本节课中复习圆面积公式的推导，首先必须让学生形成 “将圆转化成长方形(化曲为直)”和“随着平均分的份数不断增加就越来越接近长方形(无限接近)”的空间观念，从而感悟极限思想，虽然可以让学生去动手操作，但是学生顶多将一个圆平均分成32份，如果平均分的份数再多点，那简直就是像绣花一样的细活了，时间上根本不允许，所以只能靠学生去想象了。但是，这样做给学生留下的直观印象还是不够深刻，而在这节课中，几何画板弥补了这一缺憾，通过演示课件，可以随机输入数字将圆平均分成若干份，然后拖动图形一步完成拼接操作，随着平均分的份数不断增加，拼接的图形越来越接近长方形，以往要很长时间才能拼接出的图形现在瞬间即可完成，而且可以不受限制，随意掌控，当平均分的份数多达128份且瞬间拼接出一个近似的长方形的时候，学生发出一阵惊呼，可见眼前的景象已然超乎他们的想象，也正是这样的视觉冲击才能给他们留下深刻而清晰的印象。所以，信息技术的创新应用能够弥补实物操作的缺憾，突破难以想象的限制，现实中无法取得的效果，以充满视觉冲击力的动态演示帮助学生进行空间想象和推理，从而有效发展学生的空间观念。

综上所述，为了使复习课不是简单地重复旧知，我们就必须超越具体的知识点的罗列与整理，在建构知识体系和提炼数学思想上下功夫，而核心内容则是对数学思想的整体感悟和认识，这也是基于在以往的具体知识教学中对于数学思想的有效渗透，到了复习阶段则要和盘托出，成为重点。在此过程中，信息技术的应用对于感悟数学思想起到了十分显著的促进作用，是数学课堂上必不可少的手段。