科研反哺教学的研究与案例分析

谭高山，陈松林

(安徽工业大学 数理科学与工程学院，安徽 马鞍山 243002)

随着学科的发展以及学科间的相互渗透，高校教师应该认识到科研对教学的重要作用，科研不仅能够锻炼创新能力、更新知识结构、完善知识体系,而且更是增强教学深度、拓展教学广度不可或缺的重要一环。高校教师应该：以教学带科研，在教学中发现问题；以科研促教学，及时解决问题，将科研思想和科研成果直接服务于教学，反哺教学。

数值分析是一门应用性很强的课程，传统教学通常是以教科书为依据，以教师讲授、学生做题为主，主要任务是对书本知识进行传授，并通过闭卷考试对学生进行考核。这种教学模式忽略了学生在数值分析教学中的巨大作用，学生机械地学习知识、不去思考，主观能动性和发散性思维难以得到提高，很难真正掌握知识，学习兴趣不大，更无从谈应用和创新。现以数值分析的课程教学为例，探讨科研反哺教学的意义及实施。

一、科研对教学的重大意义

(一)科研有助于教学内容的选择和更新

数值分析的教学内容虽然是基础理论和基本算法, 但其应用性和发展性较明显,要使学生真正掌握解决问题的本领就必须站在学科的最前沿, 科研是使前沿成果及时反映到教学中来的直接办法[1]。教师要准确地把握所授课程在整个专业中的地位，将自己在高水平科研中获得的经验及科学新成就及时反映到教学中去，从而提高学生的知识水平。通过科研，教师才能更好地了解课程，并为课程教学选择恰当的内容和教学方法。譬如，大部分数值分析教材和大纲在数值逼近这部分浓墨重彩地讲了Lagrange插值和Newton插值，事实上，这两种方法在工程上基本不用。笔者从科研中体会到：这些插值算法在理论上讲清即可，不应该成为数值分析的重点内容，这部分的重点应该是分段光滑逼近和不同准则下的拟合逼近或不同拟合方法。如果局限于学时，至少也应该讲清楚不同拟合思想。

(二)科研对教学的促进作用

浓厚的科研氛围和繁荣的科研状况对教学环境产生直接影响，促进学生进行知识探索。科学研究是提高教学质量的最有效的方法，也是进行教学改革的重要保证。

教师有了系统的科学研究和丰富的理论指导,在教学上就能做到游刃有余，把科研与教学有机地结合起来, 把最新的知识和信息传递给学生,从而丰富课堂教学内容,培养学生的思维方式和创新能力,通过高水平的科学研究提高现有课程的教学水平, 才能培养高水平的学生，造就有创新能力的人才。

二、数值分析类课程中科研反哺教学的应用探究

数据拟合是工程上进行数值逼近的常用手段之一。一般《数值分析》教材具体讲授直线的最小二乘拟合。若抽象讲授拟合思想，学生无法理解；具体地讲直线的最小二乘拟合，学生又会把这部分知识学“死”了，甚至通过记公式的方式应付考试。因此实际教学中应该从直线的最小二乘拟合出发，使得学生对于简单的拟合思想和具体操作有清晰的认识，引入实际问题，使学生了解拟合问题的复杂性，从而理解一般拟合思想。由于实际问题比较复杂，理解和处理起来往往无处下手。结合科研项目，笔者提出了几何特征的精度检测问题[2]，即求点到理论模型的距离分布。这一问题在工程领域通过数据对应+模型配准实现。笔者在课堂教学中把这一问题归结为拟合问题，让学生从拟合问题的角度进行分析解决。

(一) 线性最小二乘拟合思想

距离平方和最小准则在各个误差之间建立了一种平衡，从而防止某一个极端误差取得支配地位。精度检测问题的最小二乘拟合中所有测量点按照Guass分布尽可能分布在理论模型上。

直线的最小二乘拟合中所有点满足直线方程，问题的数值解可以转化为如下线性问题：

几何和代数再一次不谋而合，过两点确定直线，方程有唯一解；过多个点无法确定直线，方程矛盾，无解。最小二乘近似解照顾所有方程成立，学生对高等代数中线性方程组的最小二乘解也有了直观的几何认识。从概率角度，即所有点按照误差正态分布在直线上。另外，利用向量知识，可以给出拟合问题的误差向量，并通过适定的向量范数来定义误差函数，通过优化误差函数可获得理论曲线最优位置。课堂教学中也引发了探索关于矛盾方程解法的兴趣，以及关于误差按照什么分布进行精度检测的问题思考。

(二) 一般(非线性)最小二乘拟合模型

其中α为拟合函数s(x,α)的待定参数。举平面圆的拟合例子，学生对α有了更直观的认识，在线性问题里即直线的参数(a,b)。通过圆的简单例子，学生也意识到拟合函数s(x,α)是数据点的变化规律，这是解决拟合问题的前提和关键。

“数学老师会做函数逼近问题，但是未必会解决工程上的拟合问题，因为他不知道实际的函数变化规律”，那么几何特征的精度检测问题中s(x,α)又是什么呢？ 教学中通过提供参考文献让学生课后阅读与思考的方式，让学生自己探究问题，使学生对数学与工程问题的关系有了进一步的认识。

(三)直线度，圆度、球度等简单几何特征的精度检测实例

通过课堂教学，学生更够直接动手解决直线度问题，但圆度、球度问题中圆和球的拟合怎么表示成线性问题是关键。学生自己动手推导圆和球面的参数表示形式：

x2+y2+ax+by+c=0

x2+y2+z2+dx+ey+fz+g=0

对函数的参数线性表示形成了初步认识，并进一步完备了关于函数的认识如二元二次函数从参数的角度来说是线性的

(四)科研中碰到的几何精度问题的思考

通过课堂教学，笔者把关于复杂几何特征精度的科研思想和科研成果传递给学生。引导学生思考：光滑的曲线曲面(逼近函数)尽可能反应点的变化规律，尽可能过这些点的原则有哪些？或者说除了利用正态分布误差还可以考虑什么分布？课堂讨论“尽可能过这组数据点”的拟合准则怎么表示，学生积极发言，参与课堂教学。

这样的课堂讨论不仅活跃了课堂气氛，增加了教学吸引力，而且有利于学生养成自我思考的习惯，从而培养创新能力。

(五)实际问题建模与求解

复杂曲面的表示并没有解析式，从而离散的表示，这属于数字几何的知识范畴，也符合了关于数值分析研究问题的“连续问题的离散化表示”的描述。学生对课本中曲面的表示和科研问题中曲面的离散描述有了切身体会。这样一来传统意义上的拟合问题就转化为三维刚体变换问题，从而最小二乘拟合准则下的配准问题建模为李群SE(3)上的非线性优化问题。

非线性参数求解是学生的知识盲区，利用令偏导数为零的方法获得的不再是线性方程组，从而引导学生对非线性优化问题的求解产生学习的欲望，随着学科专业细化和研究的深入，培养计划提供的知识结构可能不够完善。学生在该课上获得了优化的思想意识，并有了自我研究优化求解的内驱力。学生后续学习和选课也有了相对明确的方向，而不仅仅是刷学分了。

四、结语

科研植根于教学，并通过反哺教学达到科研和教学的共同发展。教学是科研的重要组成部分，科研是教学的延伸。只有两者相生相长，高校教师才能更好地教书育人，服务社会。