四元数矩阵方程AXAH+BHYB=C的埃米特解分量极秩

连德忠,谢锦山,李美莲,游德有,吴敏丽

(龙岩学院 数学与信息工程学院，福建 龙岩 364000)

四元数代数理论中，有关四元数矩阵方程通解及其最大秩、最小秩问题，是近年来国内外学者比较关注的热门课题[1-4].四元数之间的乘积不可交换造成四元数体上矩阵之间的运算比复数域上矩阵之间的运算要复杂得多，例如复矩阵常见的基本性质

本文将借助上述四元数矩阵的复表示方式，探讨四元数体上常见的一类线性矩阵方程

AXAH+BHYB=C

(1)

的可解性及其埃米特(Hermite)解集中复矩阵分量的最大秩、最小秩问题，其中，四元数矩阵A，B，C已知,且C为埃米特矩阵.按惯例，用Rm×n，Cm×n，Hm×n分别代表实数域、复数域、四元数体上全体m行n列矩阵，不妨设

A=A00+A01i+A10j+A11k∈Hm×n(A00,A01,A10,A11∈Rm×n),

记

A00+A01i=A0∈Cm×n，A10+A11i=A1∈Cm×n，

那么

A=A00+A01i+A10j+A11ij=A00+A01i+(A10+A11i)j=A0+A1j(A0,A1∈Cm×n).

同理，四元数矩阵B，C，四元数变量矩阵X，Y也可以这样表示.因此，对于每一个四元数矩阵，都可以引进一种等价的复矩阵Φ(·)表示，借助这种复表示，可将矩阵方程(1)转换为等价的复矩阵方程，而该方程的复矩阵解又可以等价映射为矩阵方程(1)的四元数矩阵解.

本文用I代表特定阶数的单位矩阵，分别用R(A)和N(A)表示四元数矩阵A的列右空间和行左空间.由文献[1]可知，dimR(A)=dimN(A)，故将dimR(A)或dimN(A)称为A的秩，并记为r(A).另外，本文沿用A+代表A的莫菲(Moore-Penrose)逆，本文用LA=I-A+A和RA=I-AA+分别代表由A诱导出的2个算子.

1 方程(1)埃米特解中的复矩阵分量极秩

定义1[5-6]对于实四元数体上的任意一个矩阵M=M0+M1j,(M0,M1∈Cm×n)，定义

为矩阵M的复表示矩阵.

依照定义1，不难验证四元数矩阵的复表示矩阵具有以下性质.

引理1[5-6]对于任意矩阵M，N∈Hm×n，

(a)M=N⟺Φ(M)=Φ(N)；

(b)Φ(M+N)=Φ(M)+Φ(N)，Φ(MN)=Φ(M)Φ(N)，Φ(kM)=kΦ(M)，(k∈R)；

(d)r[Φ(M)]=2r(M)；

(e)Φ(MH)=[Φ(M)]H.

引理2[5-6]对于任意矩阵M∈Hm×n，

(a) [Φ(M+)]=[Φ(M)]+；

(b)Φ(RM)=RΦ(M),Φ(LM)=LΦ(M).

引理3[5-6]对于任意复矩阵Y∈C2m×2n，存在唯一一个四元数矩阵X∈Hm×n，满足

下面介绍类似于方程(1)的复矩阵方程有解的充要条件，文献[3]中的相关结论在复数域上自然成立.

(2)

其埃米特通解可表示为

本文还用到下列有关分块复矩阵秩的引理.

引理5[7-8]设矩阵A∈Cm×n，B∈Cm×k，C∈Cl×n，D∈Cj×k，E∈Cl×i，那么它们满足：

引理6[7-10]假设矩阵A=AH∈Cm×m，B∈Cm×n已知，那么

引理7[7-10]对于任意矩阵A∈Cm×n，那么由A的莫菲逆引导出的两个算子LA=I-A+A和RA=I-AA+具有下列性质：

(a) (LA)H=LA,(RA)H=RA;

(b)LAH=RA,RAH=LA.

下面我们考察四元数矩阵方程(1)中的埃米特通解分量矩阵的极秩.

定理1(a) 设四元数矩阵A=A0+A1j∈Hm×n，B=B0+B1j∈Hp×m，C=C0+C1j∈Hm×m均已知，那么四元数矩阵方程(1)存在埃米特解的充要条件是复矩阵方程：

(3)

存在埃米特解.

(b) 如果四元数矩阵方程(1)存在埃米特解，记

S0={X0∈Cn×n|A(X0+X1j)AH+BH(Y0+Y1j)B=C}，

S1={X1∈Cn×n|A(X0+X1j)AH+BH(Y0+Y1j)B=C}，

T0={Y0∈Cp×p|A(X0+X1j)AH+BH(Y0+Y1j)B=C}，

T1={Y1∈Cp×p|A(X0+X1j)AH+BH(Y0+Y1j)B=C}，

那么

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

根据引理1中的性质(c)，可知

式中：U，V，W为具备适当行列数的任意复矩阵,且U为埃米特复矩阵；

根据引理2的性质可知：

[Φ(A)]+=Φ(A+)， [Φ(B)]+=Φ(B+),

LΦ(A)=Φ(LA),RΦ(B)=Φ(RB),

因此，复矩阵方程(3)的通解可表示为

式中：U，V，W为具备适当行列数的任意复矩阵,且U为埃米特复矩阵.

另记

那么

利用引理1的性质(c)，可得

而

即

因此

根据引理6，则有

将上述各分块矩阵的秩按引理5进行化简，其中：

根据等式

MLM=RABHLM=0，

得

AA+BHLM=BHLM，

并且

Φ(BHLM)=Φ(BH)Φ(LM)=Φ(BH)LΦ(M),

[Φ(BHLM)]H=Φ[(LM)H]Φ(B)=Φ(LM)Φ(B)=LΦ(M)Φ(B)=RΦ(MH)Φ(B)，

因此，

通过类似的计算处理，可得：

根据上述结论可证明极秩等式(4)和(5)成立.

3 复矩阵分量极秩的应用

借助定理1，不难判断四元数矩阵方程(1)埃米特通解是否包含复矩阵解、方程(1)的埃米特通解是否全为复矩阵解.

(13)

(b) 四元数矩阵方程(1)的埃米特通解均为复矩阵的充要条件是下列2个秩等式同时成立：

(15)

四元数矩阵方程(1)所有的埃米特解均为复矩阵的充要条件是

由定理1中的极秩等式(6)，(7)，(10)，(11)不难推导出等式(12)～(15).