数学归纳法在高中数学中的应用解析

张海贝

摘要：高中数学的相关知识较为复杂，且随着学生年龄的增长以及教学的需要，学生也应该学习一些更加深奥的知识，掌握一些更加有效的解决问题的方法，提升解决问题的能力和效率。在实践教学过程中，数学归纳法在证明与正整数有关的数学命题当中较为常用，可以起到培养学生创造性思维、洞察能力、逻辑推理能力、归纳总结能力的作用。因此，需要在有关方面进行深入研究，增强这一方法的使用能力，提高教学效果。

关键词：数学归纳法 高中数学 能力提升

数学归纳法在中学数学证明题解析过程中较为常用，尤其是在不等式证明和几何问题证明方面，可以提高解决问题的效率。但是，数学归纳法仍然具有一定的局限性，适用范围仅限于一些与正整数有关的命题，为此，还需要进行改进。在实际应用过程中，这一方法属于重点内容，需要学习者对其进行深刻理解和正确使用，避免理论化的学习，要体现一种实践操作能力，这也是素质化教育时期的要求。下面笔者结合相关的经验以及数学归纳法的特点，并基于高中学生的思维特征，对于数学归纳法在不等式证明中的应用、在几何问题中的应用进行详细论述。

一、数学归纳法的基本形式

根据相关资料的介绍，有关数学归纳法的基本形式可以从以下几个角度来理解：

第一，使用验证性思维模式，当n取第一个值时，证明命题是正确的；第二，对于n的取值进行变化，假设当n取值为k时，证明命题是正确的，其中k的取值不固定，由此可以得出，n取值k+1时，命题也是正确的；第三，根据以上的假设和验证结果，得出的结论为n取值为全体自然数时，命题都是正确的[1]。

通过数学归纳法的使用，可以对其进行进一步理解，简单的概述为一种递推思想的展现。在这一过程中，n取值为1的假设和验证属于后续递推和工作开展的基础，也是进行假设验证过程的一种介绍，然后在此基础之上，进行拓展研究，将n的取值进行变化，得出相应的验证结果，为无限次递推的可能性提供保障，这属于整个数学归纳法中的核心部分。由此可见，这一方法的使用属于一种量的积累，从而达到了质的飞越[2]。

二、数学归纳法的具体应用

对于数学归纳法应用的介绍主要从不等式证明、几何问题解决两个方面进行详细论述，将理论与实践结合在一起，增强对这一方法实际应用的操作能力。

（一）数学归纳法在不等式证明中的应用

在不等式证明中使用數学归纳法，可以保证过程的逻辑清晰，降低问题解决难度，增强问题解决效率。在应用过程中，如果直接进行证明，会增加问题的复杂性，这样就需要借助于不等式的可加性和传递性，进行思维的拓展，发挥想象力，假设不等式与目标不等式之间的特征关系，分析问题，解决问题[3]。

案例：证明：在n为正整数的情况下，假设n个正整数的乘积等于1（b1.b2.b3.....bn=1），那么对它们进行求和，结果是不小于n（b1+b2+b3.....bn≥n）

数学归纳法应用：第一，当n等于1 的情况下，可以得出b1=1，命题是成立的；第二，假设当n等于k的情况下，命题是成立的，那么k个正数的乘积等于1，这样一来，可以得到b1+b2+b3.....bk≥k。当n取值为k+1时，那么b1，b2，b3...bk，bk+1可以满足假设条件，即b1，b2，b3...bk，bk+1=1，如果这k+1个正数都相等，那么他们将都是1，和为k+1，命题成立。与之相反，如果这k+1个正数并不都相等，那么将会存在大于1和小于1的情况，否则将会与b1.b2.b3.....bk+1=1相矛盾；第三，假设b1>1，b2<1，b1b2看做一个数，得出b1.b2.b3.....bk+1=1，借助归纳法对其进行假设，得出的结论为b1+b2+b3.....bk+ bk+1≥k，所以b3.....bk+ bk+1≥k- b1b2，b1+b2+b3.....bk+bk+1-（k+1）≥b1+b2+k-b1b2-（k+1）=-（b1-1）（b2-1）.由于b1>1，b2<1，那么-（b1-1）（b2-1）>0，b1+b2+b3.....bk+ bk+1-k-1>0，b1+b2+b3.....bk+ bk+1>k+1，这就证明了当n取值为k+1时，命题是成立的；第四，将以上的论证进行综合，可以得到的结论是一切正整数n，如果n个正整数的乘积等于1，那么它们的和会大于n。

总结：在对以上问题解决的过程中，首先需要对问题进行分析，明确推理思路，然后，分析该问题解决的关键点所在，即需要由假设不等式成立推导出目标不等式成立，如何保证这一推理具有较强的因果关系，使得出的结论具有可信性是关键。因此，需要使用中间不等式，将其作为问题解决的纽带，完成推理。

（二）数学归纳法在几何问题中的应用

对于几何问题的解决，主要是进行特殊问题的转化，使其转化为一般性问题。需要进行假设，得出一般性结论，然后作为假设条件运用到解题当中。在完成特殊性验证之后，对于假设命题n等于k成立进行证明，得出n取值为k+1时，命题也依然成立。

案例：证明凸n边形有多少条对角线，f（3）=n（n-3）.（n≥5）

数学归纳法应用：第一，当n取值为3的情况下，f（3）=0，而在实践当中，三角形是不存在对角线的，所以说，原有的命题是成立的；第二，假设n取值为k时，命题依然成立，那么f（k）=k（k-3）如果n的取值为k+1，原有的凸k边型的顶点会增加一个，由顶点Bk-1与其不相邻的另外的k-2个顶点之间进行对角线绘制，总计的条数为B2，B3，...Bk-1，总计k-2条对角线，原有的凸k边形的一条边B1Bk形成了一条对角线，由此可见，当图形的边数增加时，k条边到k+1条边中共增加k-1条对角线，得出f（k+1）= f（k）+（k+1）=k（k-3）+（k-1）=（k2-k-2）=（k+1）（k-2）=（k+1）[（k+1）-3]，这就证明了，当n取值为k+1时，命题成立。

总结：在使用数学归纳法的过程中，需要理性，不能盲目，要根据问题的实际情况来判定是否使用数学归纳法，是否能够保证使用这一方法最为优质高效，避免过程的繁琐性，尤其是在升学考试的过程中，解题方法选择是否科学合理，会直接影响答题速度和最终的成绩，因此，要合理选择方法。

三、使用数学归纳法解题的注意事项

数学归纳法的产生是为了服务于学习中问题的解决，属于一种工具，为了有效的利用这一工具，提高学生在高中数学方面的学习能力，并能够有效的利用数学归纳法，应该注重以下几点：

（一）学生需要树立“归纳、猜想、证明”的解题思想，这属于一种逻辑性较强的思维，是使用数学归纳法解题的基础、如果有关方面的逻辑思維模式和习惯形成存在问题，那么学生在解题的过程中，对于数学归纳法将会有所疏远，并且应用过程难度也会增加。为了在有关方面进行强化，需要老师向学生介绍什么是数学归纳法，数学归纳法的由来，数学归纳法对于解题的重要性、优势，数学归纳法在生活中的体现等等，使学生拉近与数学归纳法之间的距离，加强对其的了解和熟悉程度，这样更有利于增强对其的兴趣，为后续使用做铺垫。

（二）进行问题证明过程中，要具有“目标意识”，善于进行问题的转化，使思维更加灵活，不能盲目的进行有关方法的使用。比如说对于一些复杂的数学问题，使用数学归纳法时，可以根据由简入繁、由小问题解决逐渐转变为大问题解决，由小目标实现逐渐转变为大目标实现等等，要逐渐展开，层层递进，这也是数学问题解决的基本思路，不能好大喜功，任何方法都存在一定的不足，应该相互结合，有效使用。

（三）在高考过程中，对于一些与“数学归纳法”相关的题目多数会与数列结合起来进行考察，且与函数、导数、不等式等内容之间联系密切，日常的教学培养要注重在有关方面进行训练和拓展，加强学生的应试能力。与此同时，老师对于数学归纳法方面的教学内容设计要注重的是学生实践能力的增强，可以通过竞赛的模式增强学生的积极性，或者是使用微课的模式，通过微信、qq等等来讲数学归纳法解题的全过程进行录制，然后将视频传送至师生交流的平台之上，使学生加强对其的学习，产生感官的认识，这样会强于完全语言讲解和理论阐述的效果。

四、结语

通过以上的介绍，数学归纳法在高中数学中的应用较为普遍，要对其进行深入了解，注重实践能力，并保证使用这一方法时能够提高解题的速度，尽量降低解题的难度，保持较强的逻辑性思维，逐步推导。与此同时，老师也要加强有关方面教学模式的改进，从多角度提升学生数学归纳法的应用能力。

参考文献：

[1]袁喜平.如何提高初中语文教学的趣味性[J].西部素质教育，2016，（03）：155-155.

[2]石彬华.如何提高初中语文教学的趣味性[J].科研，2016，（12）：00043-00043.

[3]郜春燕.高中数学教学中如何运用数学归纳法[J].数理化解题研究，2017，（06）：45-46.

（作者单位：河南省郑州市第四十七中学高二三班）