素环上的广义(θ,θ)-导子

钟佩伶

(吉林师范大学 数学学院,吉林 长春 130000)

0 引 言

Bell和Kappe[1]证明了若d为R上的导子，在R的非零右理想上作为同态或反同态，则d=0.Ashaf[2]将结论推广到了σ,τ-导子，Rehman[3]进一步研究素环非零理想上广义导子作为同态或反同态.本文进一步研究了素环非零理想上广义θ,θ-导子作为同态或反同态的结果.

1 预备知识

设R为结合环.对任意的a,b∈R,若由aRb=0,必有a=0或b=0, 则称R为素环.如果环R为2-扭自由的，则对任意的a∈R，若2a=0，则必有a=0.设R是环,d:R→R是加性映射.若对任意的x,y∈R,满足：dxy=dxy+xdy,则称d是R上的导子.若映射σ:R→R满足：(1)σ(x)⊆R,x∈R;(2)σ(x+y)=σ(x)+σ(y),x,y∈R;(3)σ(xy)=σ(x)σ(y),x,y∈R,则称σ为R的自同构．设R是结合环,g:R→R是加性映射,θ,φ是R上的自同构. 若对任意的x,y∈R, 满足gxy=gxθy+φxgy, 则称g为R上的θ,φ-导子. 设R是结合环，g:R→R是加性映射.若对任意的x,y∈R,有gxy=gxy+xdy,则称g为R上的广义导子,d是g的伴随导子. 设R是结合环,g:R→R是加性映射,θ是R上的自同构.若对任意的gx,y∈R,有gxy=gxθy+θxdy, 则称g为R上的广义θ,θ-导子,d是g的伴随导子.设R是环，I⊂R是R的可加子群，若对任意的r∈R，a∈I均有ra∈I，ar∈I，则称I为R的理想.

2 主要结果

引理1[[3]引理1.1]若一个素环R有一个非零理想是可交换的，则R是可交换的.

定理1R为2-扭自由素环，I是R的非零理想，设θ在R上是自同构的，F是R上的广义(θ,θ)-导子，(θ,θ)-导子d是F的伴随导子.

(i)F作为同态在I上，若d≠0，则R是可交换的.

(ii)F作为反同态在I上，若d≠0，则R是可交换的.

证明：

(i)假设R是不可交换的.

由于F在I上满足同态，有

(1)FuFv=Fuv=Fuθv+θuFv,∀u,v∈I.

在(1)用vw换v并结合(1)可得

Fu-θuθvdw=0 , ∀u,v,w∈I.

又可得θ-1Fu-θuIθ-1dw=0 ， ∀u,w∈I.

由R是素环可得Fu-θu=0 或dw=0 , ∀u,w∈I.

如果 (2)dw=0 , ∀w∈I.

在(2)中用wr换w并结合(2)有

0=dwr=dwθr+θwdr=θwdr,∀w∈I,∀r∈R.

又可得Iθ-1dr=0 ， ∀r∈R.

由R是素环可得dr=0 ,∀r∈R.

故d=0.

与已知d≠0矛盾，故不成立.

如果Fu-θu=0 , ∀u∈I.

由(1)知θudv=0 ， ∀u,v∈I.

又可得Iθ-1dv=0 ， ∀v∈I.

所以dv=0 ， ∀v∈I.

类似地同(2)的解答过程可知也是与已知矛盾的，故不成立.

所以假设是不成立的.

故R是可交换的.

(ii)由于F在I上满足反同态，有

(3)FvFu=Fuv=Fuθv+θuFv,∀u,v∈I.

在(3)中用uv换u并结合(3)有

(4)θuθvdv=Fvθudv， ∀u,v∈I.

在(4)中用wu换u有

(5)θwθuθvdv=Fvθwθudv, ∀u,v,w∈I.

对(4)左乘θw有

(6)θwθuθvdv=θwFvθudv,∀u,v,w∈I.

由(5)(6)知Fv,θwθudv=0 , ∀u,v,w∈I.

又可得θ-1Fv,θwIθ-1dv=0 ， ∀v,w∈I.

由R是素环可得Fv,θw=0 或dv=0 ,∀v,w∈I.

如果dv=0 ,∀v∈I

类似地由(i)中(2)的解答过程知与已知矛盾,不成立.

如果(7)Fv,θw=0，∀v,w∈I.

在(7)中用vw换v并结合(7)可得

(8)θvdw,θw+θv,θwdw=0,∀v,w∈I.

在(8)中用uv换v在结合(8)可得

θu,θwθvdw=0，∀u,v,w∈I.

又可得u,wIθ-1dw=0,∀u,w∈I.

由R是素环可得u,w=0 或dw=0， ∀u,w∈I.

如果dw=0， ∀w∈I

类似地由(i)中(2)的解答过程知与已知矛盾,不成立.

如果u,w=0 ，∀u,w∈I

故I是可交换的.

由引理1.1知R是可交换的.

故命题得证.

3 结 语

本文研究了在素环非零理想上广义θ,θ-导子作为同态或反同态，若d≠0时，素环R是可交换的，把Rehman研究的素环非零理想上广义导子的相关结果推广到了广义θ,θ-导子上，对进一步研究是很有帮助的.