广义变分不等式的一种新解法

张冬杨, 葛鑫磊

(渤海大学 数理学院, 辽宁 锦州 121000)

变分不等式理论是当今非线性分析的重要组成部分.它在力学、微分方程等方面有着非常广泛的应用.

自20世纪60年代以来,Lious、Brower等人提出和创立变分不等式的基本理论以来,经过许多数学工作者的努力,变分不等式的研究已经取得了重要的进展,并且日臻完善.到目前为止,变分不等式的理论,已成为一门内容十分丰富的边缘学科并有着广泛的应用前景.

Hilbert和Banach空间中的距离投影算子在众多数学领域中都有比较广泛的应用,例如泛函分析、数值分析、优化和逼近论、最优控制、非线性随机规划等.

虽然Hilbert空间中的距离投影算子和Banach空间中的距离投影算子定义相似,但是仍然存在着本质上的区别,在Hilbert空间中的距离投影算子是单调的,非扩张.而Banach空间中的投影算子却没有这样的性质.为了克服这样的限制,1996年Alber[1]在一致凸且一致光滑的Banach空间中引入了广义投影算子φK:B*→K和φK:B→K,它们是从Hilbert空间到一致凸且一致光滑的Banach空间.这种算子继承了Hilbert空间距离投影算子的很多性质,在2001年,Alber在Banach空间中借用广义投影算子来计算变分不等式的近似解.

随着距离投影算子研究的不断深入,应用距离投影算子求解广义变分不等式取得了较多的研究成果.

在提出求解变分不等式的新方法之前,我们需要一些预备知识.

1 预备知识

令X是Banach空间,X*为X的对偶空间,K为X的非空闭凸子集,f:K⊂X→R∪{+∞}是真凸下半连续函数.

Banach空间X上的对偶映射J:X→X*可以定义为

对偶映射J具有下述性质[1]:

(1)X是自反的当且仅当J是满射;

(2)X是严格凸的当且仅当J是单射;

(3)X是光滑的当且仅当J是单值映射;

(4) 如果X是光滑的Banach空间,那么J:X→X*是弱*连续的;

(5) 如果X是自反严格凸且光滑的Banach空间,那么J*:X*→X是X*中的对偶映射且J-1=J*,J*J=I.

令X是一致凸且光滑的Banach空间,V2:X×X→R可以定义为V2(x,y)=V(Jx,y),其中任意的x,y∈K.

对任意给定的ρ>0,令G:X*×K→R∪{+∞},定义

G(φ,x)=‖φ‖2-2〈φ,x〉+‖x‖2+ρf(x)

G函数的性质[2]如下:

(1) (‖φ‖-‖x‖)2+ρf(x)≤G(φ,x)≤(‖φ‖+‖x‖)2+ρf(x);

(2) 对φ而言,如果x是固定的,那么G(φ,x)是凸的,连续的;

(3) 对x而言,如果φ是固定的,那么G(φ,x)是凸的,下半连续的.

在已有G函数的基础上,Wu和Huang[2]在一致凸且一致光滑的Banach空间中定义了广义f-投影算子,即:

〈u,y-x〉+ρf(y)-ρf(x)≥0,∀y∈K.

(1)

其中,T:K→X*是集值变换.

在文章中,还需要如下引理:

引理2[5]如果对任意x∈K,ρ>0都有f(x)>0,那么

引理3[5]如果是任意给定的实数r>0,那么X是一致凸的Banach空间当且仅当存在严格递增的凸函数g:R+→R+,且g(0)=0,使得

其中∀x,y∈Br,λ∈[0,1].

引理4[6]令X是一致凸且光滑的Banach空间且{yn}、{zn}是X中的两个序列,如果V2(zn-yn)→0,且{yn}或{zn}是有界的,那么zn→yn→0.

2 主要结果

定理令X是一致凸且光滑的Banach空间且其对偶空间为X*,K是X的非空闭凸子集且0∈K,令f:K→R是真凸下半连续的,T:K→X*是上半连续且闭的.假设存在β>0使得任意x∈K,u∈Tx都有

且J-βT:K→X*是紧的.令Ω是变分不等式GVI(K,T,f)的解集.假设

(2)

令x0∈X,且{xn}是由下列迭代结构产生的:

其中{αn}满足下列条件:

(1) 0≤αn≤1;

那么,广义变分不等式GVI(K,T,f)存在近似解x*∈K,且存在{xni}⊂{xn},使得当i→∞时,xni→x*.

由引理3和式(2)可以得到

另一方面,由G函数的定义及引理2可得

因为X是一致凸的,那么‖·‖是严格凸的,也就是说

结合式(4)和式(5),有‖xn+1‖≤‖xn‖.

由引理3可知,存在连续且严格递增的凸函数g:R+→R+且g(0)=0,那么

由式(2)可知

由g函数的非负性,可得

G(Jxn+1,x*)≤G(Jxn,x*),

即{G(Jxn,x*)}是递减的,也就是{V2(xn,x*)}也是递减的.由于xni→x*和J的弱*连续性,可得

即V2(xni,x*)→0(i→∞),xni→x*.