波形钢腹板曲线结合梁弯扭效应的解析解推导及参数分析

李运生， 陈留剑， 刘 蓓， 杨 斌, 陈 铁, 张彦玲

(1. 石家庄铁道大学 土木工程学院， 河北 石家庄 050043;2. 中国铁路总公司 工程管理中心, 北京 100844)

城际高铁桥梁需要减小建筑高度、降低振动和噪音，而且可能会因为线路的要求设计为平面曲线。波形钢腹板结合梁具有自重轻、腹板抗剪强度大、预应力效率高等优点，且由于波形钢腹板良好的三维挠曲特性，非常适合应用于城际高铁曲线桥。

目前，国内外对波形钢腹板结合梁的抗弯性能[1-3]和纯扭性能[4-6]已有较多研究。李宏江[7]、丁勇[8]、杨丙文[9-10]等对波形钢腹板-混凝土结合梁的弯扭性能进行了报道，但研究对象均为直线梁。在波形钢腹板曲线结合梁方面，Hu[11]采用Ansys软件分析连续曲线波形钢腹板结合梁的剪力滞效应，并对有效分布宽度进行了研究；曹建军[12]采用有限元对波形钢腹板的抗弯稳定性能进行了分析；Sung等[13]对一座波形钢腹板曲线结合梁桥进行现场静载试验和动力测试，并实施长期监控，给出了桥梁状态的安全阈值。这些报道都采用的是有限元分析和现场试验的研究方法。

在理论分析方面，宫思维[14]根据薄壁杆件结构力学及曲线桥梁的分析方法，推导了波形钢腹板组合曲梁的弯曲正应力公式；仝波[15]结合波形钢腹板箱梁的特点，考虑竖向挠曲、腹板剪切和扭转，推导了波形钢腹板曲线梁桥的弯扭耦合效应表达式，但以上报道在分析中均未考虑截面剪力滞和畸变变形与弯曲性能、剪切性能及刚性扭转之间的综合影响。

本文将在以上文献的研究基础上，更加全面地考虑如下因素，包括梁轴曲率、剪力滞效应、腹板剪切变形、约束扭转和畸变变形，采用能量变分法计算截面的竖向挠曲应变能、腹板剪切应变能、约束扭转应变能和畸变应变能，得到波形钢腹板曲线结合梁在各种外荷载下的弹性控制微分方程和各种弯扭荷载效应的解析解，并进行相关的参数分析。

1 弹性阶段波形钢腹板简支曲线结合梁弯扭效应的控制微分方程

本文在推导过程中采用的基本假定包括：

(1) 曲线结合梁处于弹性工作阶段，变形由弯曲、扭转、剪力滞和畸变组成；

(2) 竖向弯曲变形为主要变形，只在竖向弯曲中计入剪力滞效应；

(3) 在弯曲应变能计算中忽略波形钢腹板的轴向刚度，假设弯矩只由混凝土顶、底板承担，波形钢腹板只承担剪力[7]，但在约束扭转翘曲应变能计算中考虑波形钢腹板折减后的纵向翘曲刚度；

(4) 正应力和剪应力均沿壁厚均匀分布；

(5) 不计次要变形扭转翘曲和畸变翘曲之间的应变能耦联。

1.1 弯曲应变能

本文在推导过程中采用的平面示意图及截面形式，见图1。

假设梁的竖向挠度为w(x)，截面转角为θ(x)，翼缘板的纵向位移函数为u(x,y)，则

u(x,y)=-zu(b)θ(x)+f(y)ξ(x)

( 1 )

式中：ξ(x)为翼缘板剪切转角的最大差值；下标u、b分别为混凝土顶板和底板的相应特性(以下同),zu为截面形心到顶板形心的距离,zb为截面形心到底板形心的距离；f(y)为剪力滞翘曲形函数，假定翼板纵向位移沿横向为三次抛物线。

为保证由于截面的翘曲位移产生的正应力构成轴力自平衡，在全截面加一均匀的轴向位移(根据假定3，不考虑腹板)，f(y)表达式为

( 2 )

考虑初曲率的影响，可得上、下混凝土翼缘的纵向正应力为

( 3 )

式中：φ(x)为曲梁绕x轴的扭转角；Ec为混凝土弹性模量；R为曲线半径，曲率中心在图1中y轴正方向一侧。

则上、下混凝土翼缘的弯曲剪力滞翘曲应变能为

( 4 )

将式( 3 )代入式( 4 )，忽略波形钢腹板的弯曲应变能，可得弯曲总应变能为

( 5 )

1.2 约束扭转翘曲应变能

假设约束扭转时箱梁的纵向翘曲位移与自由扭转时存在相似的规律变化。定义扭转翘曲广义位移为β′(x)，并考虑梁轴曲率的影响，则曲线箱梁的截面翘曲位移为

( 6 )

采用换算截面，将钢腹板换算成混凝土材料，假定换算之后的腹板高度不变，则等效厚度为[7]

( 7 )

式中：Eg为波形钢腹板钢材的实际弹性模量；Ee为其有效弹性模量；a、c、θ、e、tg、p见图2。

对于刚性扭转，假定截面周边不变形，则换算截面的约束扭转翘曲正应力为

( 8 )

当扭转极点取截面扭转中心，曲线坐标积分起点取广义扇性坐标零点时，广义惯性静矩为零，此时有

( 9 )

令扭转翘曲双力矩为

(10)

则由翘曲正应力产生的刚性扭转翘曲应变能为

(11)

1.3 剪切应变能

剪切应变能包括由剪滞翘曲剪应变产生的翼板剪切应变能、波形钢腹板剪切应变能和约束扭转剪切应变能。

1.3.1 剪力滞翘曲剪切应变能

根据式( 1 )，可得翼板剪滞翘曲剪应变为

(12)

则剪滞翘曲剪切应变能为上、下混凝土翼板剪切应变能之和

Vq1=Vq1u+Vq1b=

(13)

1.3.2 钢腹板剪切应变能

考虑剪切变形时，箱梁腹板的剪应变可表示为η(x)=w′(x)-θ(x)，则相应的应变势能为

(14)

1.3.3 约束扭转剪切应变能

在扭矩作用下，箱梁截面上各点的约束扭转总剪应变为

(15)

则横截面上总扭矩为

T=∮τsρtds=∮Gγsρtds

(16)

故式(16)可表示为

T=Td+Tw=GcId(φ′+θ/R)+

Gc(Iρ-Id)(φ′-β′)

(17)

则约束扭转剪切应变能为

(18)

由式(11)、式(13)和式(18)可得总剪切应变能Vq为

Vq=Vq1+Vq2+Vq3=

(19)

1.4 畸变应变能

在曲线结合梁中，畸变应变能包括畸变翘曲应变能Uj1、框架横向弯曲应变能Uj2和由梁轴曲率引起的畸变附加应变能Uj3。根据文献[7]，以图1中角点2的畸变角γ2为畸变未知量，假定沿桥纵向不考虑波形钢腹板的抵抗翘曲作用，则畸变翘曲应变能Uj1为[7]

(20)

框架横向弯曲应变能Uj2为[7]

(21)

下面计算由梁轴曲率引起的畸变附加应变能Uj3，定义箱梁内腹板翘曲时在自身平面内的附加畸变竖向挠度为v1，畸变转角为ν=2v1/a4，则畸变角γ2=2ν，见图3。

对于水平曲线箱梁，横截面上绕y轴的弯矩My与畸变转角的附加曲率ν/R有耦合，从而引起畸变附加应变能Uj3为

(22)

由此可得波形钢腹板曲线结合梁畸变总应变能为

Uj=Uj1+Uj2+Uj3=

(23)

1.5 外力势能

设曲率承受沿梁轴的竖向分布荷载q(x)和分布扭矩m(x)，分布扭矩可通过荷载分解得到其畸变荷载分量，其中顶板受到的畸变荷载为Pdw(x)=m(x)/(2h)(h为顶、底板中心线间距)。因此，扭矩m(x)除在截面内引起扭转角φ以外，其畸变荷载分量还会产生独立的畸变荷载势能，因此曲线梁的外力势能可表示为

(24)

1.6 波形钢腹板曲线结合梁弯扭控制微分方程

由式( 5 )、式(11)、式(19)、式(23)、式(24)，可得到波形钢腹板曲线组合箱梁在弯扭作用下的总势能为

(25)

根据最小势能原理，令式(25)一阶变分为0，可得

(26)

Gc(Iρ-Id)(φ″-β″)-m=0

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

且得到边界条件为

(32)

(33)

(34)

(35)

(36)

(37)

(38)

由式(26)～式(38)可以看出，根据本文的假设，弯曲变形和扭转变形存在相互耦合，而剪切变形和畸变变形则相对独立。

2 波形钢腹板曲线组合弯扭控制微分方程的求解

本文拟求解的结构为简支波形钢腹板曲线结合梁，其控制微分方程可采用伽辽金法求解。基本未知数及其边界条件为：当简支曲梁两端设抗扭支座，且只有两个端横隔板时，跨中挠度w(x)、扭转角φ(x)和畸变角函数γ2(x)均在支座处为0，在跨中达到最大，其形函数可采用正弦函数，即w(x)=w0sin(πx/l)、φ(x)=φ0sin(πx/l)、γ2(x)=γ20sin(πx/l)(φ0、γ20为各变量在跨中的峰值)；扭转翘曲广义位移函数β′(x)与扭转角的一阶导数φ′(x)具有相似特性，也可设β(x)=β0sin(πx/l)(β0为跨中峰值)；截面转角θ(x)和翼板剪切转角的最大差值函数ξ(x)则在两端支座处达到最大，均布荷载下θ(x)在跨中为0，ξ(x)在跨中值极小[16]，则二者的形函数可采用余弦函数表示，即θ(x)=θ0cos(πx/l)、ξ(x)=ξ0cos(πx/l)(θ0、ξ0为各变量在支座处的峰值)。

根据文献[17]，令

将以上基本未知数的形函数代入式(26)～式(29)，将式(30)代入式(26)，并表示成矩阵形式，可得

K·Δ=P

(39)

展开后，为

(40)

则可求得位移项(θ0、φ0、ξ0、β0)为

Δ=P·K-1

(41)

将跨中挠度和梁端转角的形函数代入式(30)，可得跨中挠度w0为

(42)

由于畸变角γ20独立存在，可直接得出

(43)

3 算例验证

采用本文推导的结果对文献[15]中的算例进行计算：某波形钢腹板简支曲线结合梁曲率半径为60 m，计算跨径为20.45 m，圆心角为20.37 °，设置端横隔板和中横隔板。波形钢腹板厚度为10 mm，采用1 600型波形钢腹板，截面尺寸见图4。为了简便计算，荷载只考虑梁自重，换算成均布荷载为76.4 kN/m，未加载扭矩。

表1 计算结果

为了对理论结果进行验证，本文采用ANSYS软件对该算例建立了有限元模型，其中混凝土板采用Solid45实体单元，钢腹板采用Shell63壳单元，顶板和腹板、腹板和底板在连接处共用节点，不考虑相对滑移。曲线梁两端各设两个铰支座，其中梁左端曲线内侧约束竖、纵向位移(x和z方向)，外侧约束竖、纵、横向位移(即x、y、z方向)；梁右端放松x纵向约束，其它与左端相同。有限元模型见图5。

由有限元模型得到的跨中挠度(图1中点1、3的中点)为8.33 mm，扭转角为0.011 2 °(根据组合箱梁截面几何特性，扭转角可由式φ=arctan(Δw/b)计算得到，其中Δw为曲线外侧和内侧最大挠度差；b为组合梁横截面中腹板之间的间距，二者的单位均为m)，跨中截面上翼缘(图1中角点1)正应力为1.622 MPa，下翼缘(图1中角点2)为2.174 MPa，与理论结果比较吻合。文献[15]的理论推导中未考虑剪力滞效应，其跨中挠度理论值为7.737 mm；在本文中，若不考虑剪力滞效应，跨中挠度值为7.7 mm，与文献[15]结果吻合，可见考虑剪力滞效应时与有限元结果更接近。

4 圆心角和曲线半径对波形钢腹板曲线结合梁弯扭效应的影响

以第3节算例为原型，保持截面尺寸和跨度不变，改变圆心角的大小，同时曲线半径随之减小。圆心角取12.22°,15.27°,20.37°,30.53°，对应的曲线半径分别为100,80,60,40 m，在自重均布荷载下，得到跨中挠度、扭转角及广义翘曲位移β′随圆心角的变化曲线见图6。

由图6可知：

(1) 跨度不变时，曲线梁的跨中竖向挠度和扭转角均随圆心角的增大和曲线半径的减小而逐渐增大，说明其扭转效应增加，由于截面扭转变形导致的附加挠度增大；

(2) 扭转角与竖向挠度的比值随圆心角的增大而增大，反映了扭转效应的增强和弯曲效应的减弱。在跨度不变的情况下，圆心角是表征曲梁弯扭效应的一个重要指标；

(3) 扭率φ′和广义翘曲位移β′分别反映了自由扭转和约束扭转时翘曲位移的大小，二者的比值随圆心角的增大逐渐增大(见图6(d))，说明圆心角越大，约束扭转和自由扭转所引起的翘曲位移的差别越大。

跨中畸变角、剪力滞附加弯矩和应力比随圆心角的变化，见图7。

由图7可知：

(1) 跨度不变时，由于曲线梁扭转效应随圆心角的增大而增大，故其畸变角也随之增大，且几乎呈线性增长；

(2) 跨度不变时，剪滞附加弯矩随圆心角的增大变化很小，说明圆心角的增长对弯曲效应影响不大；

(3) 应力比随着圆心角的增大而增大，且变化曲线基本上呈线性变化。

5 结论

(1) 本文采用能量变分法推导了波形钢腹板简支曲线结合梁在弯扭作用下的控制微分方程，采用伽辽金法求解可简化求解过程，得到其弯扭效应的峰值解；

(2) 波形钢腹板简支曲线结合梁的弯曲变形和扭转变形存在相互耦合，而剪切变形和畸变变形则相对独立。剪力滞效应可使曲梁的挠度增大；

(3) 跨度不变时，跨中竖向挠度、扭转角和畸变角均随圆心角的增大而增大，剪滞附加弯矩基本不变。扭弯应力比随圆心角的增大线性增加，说明扭转效应增强，弯曲效应减弱，且约束扭转和自由扭转所引起的翘曲位移的差别逐渐增大。