根据给定的素材“烹饪”出精美的数学题

浙江省柯桥中学 (邮编：312030)

烹饪大师在一定时间内都能根据给定的素材烹饪出一道道味道好、色相好、营养好的菜肴，同样的食品素材经过不同大师的烹饪的菜肴不同，美食家们针对菜肴评价其烹饪水平，类似地，数学大师(教师)也应该在一定时间内根据提供的素材与要求创造出精美的数学题，这可以成为一种教学技能训练、教学水平评价、教学问题设计比武的方法，

德国物理学家海森堡说过：“提出正确的问题，往往等于解决了问题的大半”． 提出一个问题比解决一个问题显得更加重要，提出一个问题需要一个人具有敏锐的眼光、细致的观察、深入的思考．作为教师，不仅要会教学生解决问题，而且自己也应能够提出问题，创作出提升学生数学素养的问题.

1 函数性质示例

编题素材

(1)函数f(x)的奇偶性，周期性，零点；

(2)函数f(x)=2x+m，x属于某个单位长度区间内；

(3)f(2019)的值自定.

编制要求

(1)试题要涉及编题全部素材；

(2)设问目标与形式自定；

(3)试题必须具备准确性，创新性，试题阅读文字量(含符号)不超过100字；

(4)创作试题，给出解答，时间为40分钟.

测试目的

(1)检测应试者对函数“奇偶性，周期性，零点”概念的理解力；

(2)检测应试者具有一定的逻辑推理与运算能力；

(3)检测应试者的数学语言表达能力；

总之，以检测应试者的核心素养为基本点.

评价水平

(1)能够在熟悉的情境中，用归纳或类比的方法，发现数量或图形的性质，数量关系或图形关系；

(2)能够对与学过的知识有关联的数学命题，通过对其条件与结论的分析，探索论证的思路，选择合适的论证方法予以证明，并能用准确的数学语言表述论证过程；

(3)能够掌握常用逻辑推理方法的规则，理解其中所蕴含的思想，对于新的数学问题，能够提出不同的假设前提，推断结论，形成数学命题.

创作试题1

函数f(x)为R上奇函数，且满足f(1-x)=f(1+x)，函数f(x)在[0，1]上的表达式为f(x)=2x+m.

(Ⅰ)如果函数f(x)在(2020，2021)内恰有一个零点，求实数m的范围；

(Ⅱ)如果f(2019)=0，试确定实数m的值.

解析函数f(x)为R上奇函数，则f(-x)=-f(x)，又f(1-x)=f(1+x)，所以

f(x+2)=f(1-(1+x))=f(-x)=-f(x)，f(x+4)=f(x)，即f(x)是周期为4的周期函数.

(Ⅰ)函数f(x)在(2020，2021)内恰有一个零点，根据周期性f(x)在(0，1)上恰有一个零点，于是f(0)f(1)<0，即(1+m)(2+m)<0，

所以-2

(Ⅱ)f(2019)=f(3)=f(-1)=-f(1)=-(2+m)，所以m=-2.

设计解读此题为检测高一学生在学习函数奇偶性、周期性、零点概念后的水平而设置，使其达到评价水平一：能够在熟悉的情境中，用归纳或类比的方法，发现数量或图形的性质，数量关系或图形关系.

创作试题2

函数f(x)为R上偶函数，且满足f(1-x)=f(1+x)，函数f(x)在[0，1]上的表达式为f(x)=2x+m.

(Ⅰ)若x=0是函数f(x)的一个零点，求f(x)在[2，4]上的表达式；

(Ⅱ)若f(2019)=1，求f(1)+f(2)+…+f(2018)的值.

解析函数f(x)为R上偶函数，则f(-x)=f(x)，又f(1-x)=f(1+x)，所以

f(x+2)=f(1-(1+x))=f(-x)=f(x)，即f(x)是周期为2的周期函数.

(Ⅰ)因f(0)=0，即1+m=0，m=-1，x∈[0，1]时，f(x)=2x-1，

x∈[-1，0]时，f(x)=f(-x)=2-x-1，

x∈[2，3]时，x-2∈[0，1]，f(x)=f(x-2)=2x-2-1，

x∈[3，4]时，x-4∈[-1，0]，f(x)=f(x-4)=2-x+4-1，

(Ⅱ)f(2019)=f(1)=2+m=1，m=-1，f(x)在[0，1]上的表达式为f(x)=2x-1，

于是f(0)=0，f(1)=1，f(2)=0，f(3)=1，f(1)+f(2)+…+f(2018)=1009.

设计解读此题为高一期末考试而设计，检测学生综合理解函数的性质并学会分析的能力，使其具备评价水平二：能够对与学过的知识有关联的数学命题，通过对其条件与结论的分析，探索论证的思路，并能用准确的数学语言表述论证过程.

创作试题3

(Ⅱ)若函数f(x)为R上奇函数，求函数F(x)=f(x)-sinx，x∈[-π,π]零点个数.

解析

(Ⅰ)如图，当m>0时，不符合题意；m=-1时，不符合题意，

图1 图2

当m=0时，符合题意；当-1

(Ⅱ)函数f(x)为R上奇函数，所以f(0)=0，从而m=-1，f(x)的图象如图

图3

F(x)的零点个数为9个.

设计解读此题设计为利用数形结合思想解决数学问题的能力，适合高三数学复习检测，目的使学生达到评价水平三：能够掌握常用逻辑推理方法的规则，理解其中所蕴含的思想，对于新的数学问题，能够提出不同的假设前提，推断结论，形成数学命题.

2 空间图形示例

编题素材

图4

(1)图1中的三棱锥形体结构称为“鳖臑(bie nao)——肩下谓之臂，臂下谓之臑(礼经释例·释牲)”，AC为圆O的直径，B为圆周上不与点A、C重合的点，PA垂直于圆O所在的平面，连结PB、PC、AB、BC；

(2)提出一个平面与平面垂直的证明；

(3)提出一个直线与平面所成角的最值.

编制要求

(1)试题要涉及编题全部素材；

(2)具体设问目标与形式自定；

(3)试题必须具备准确性，创新性，试题阅读文字量(含符号)不超过150字；

(4)创作试题，给出解答，时间为50分钟.

测试目的

(1)检测应试者的空间想象能力与逻辑推理能力；

(2)检测应试者的运算能力；

(3)检测应试者的数学语言表达能力，

总之，以检测应试者的核心素养为基本点，

评价水平

(1)能够在熟悉的数学情境中，借助图形的性质和变换(平移、对称、旋转)发现数学规律；能够描述简单图形的位置关系和度量关系及其特有性质；

(2)能够在关联的情境中，想象并构建相应的几何图形；能够借助图形提出数学问题，发现图形与图形，图形与数量的关系，探索图形的运动规律；

(3)能够在综合的情境中，借助图形，通过直观想象提出数学问题.

图5

创作试题4如图2，AC=2R为圆O的直径，∠PCA=45°，PA垂直于圆O所在的平面，B为圆周上不与点A、C重合的点，AS⊥PC于S，AN⊥PB于N，

(Ⅰ)求证：平面ANS⊥平面PBC；

(Ⅱ)设PB与平面PAC所成角为θ，求sinθ的最大值.

解析：

(Ⅰ)平面ANS⊥平面PBC

(Ⅱ)作BD⊥AC于D，连结PD，

⟹BD⊥面PAC，所以∠BPD为PB与平面PAC所成的角θ.

(*)

即t2+(u-1)t+u=0，△=(u-1)2-4u≥0.

设计解读设计的问题中，面面垂直关系较多，选择证明的一对平面垂直关系可以将其他垂直关系一并带入，这是训练学生理解直线与平面垂直定义，直线与平面垂直判定以及平面与平面垂直判定的经典范例；所求直线与平面所成角的最值，引入参变量，建立目标函数，这样数学建模思想融入其中，最后求其最值的方法很多，限于篇幅这里只介绍一种．问题设计目的使学生达到评价水平二：能够在关联的情境中，想象并构建相应的几何图形；能够借助图形提出数学问题，发现图形与图形，图形与数量的关系，探索图形的运动规律.

3 作用

根据给定的素材创作新的数学问题，对于数学教师不仅是一种教学能力，而且可以提升教师的数学素养，这样才能有效的落实培养学生数学素养的重任.

3.1 教学的基础性

数学教学除了基本的教学理念之外，数学问题是数学教学的核心，然而“活而新”的问题才是取之不尽、用之不完的源泉，这应该是“教书匠”的基本功.它首先要求教师具有良好的数学语言(文字语言、图形语言、符号语言、关系语言)表达能力.

3.2 功能的创新性

数学教师的解题能力，尤如家庭主妇天天要烹饪一日三餐一样；而限时编题能力尤如家中来客人，需要主人拿出一些特色美食招待客人，在一定时间内创造出符合学生认知，检测学生数学素养的数学问题并非易事，需要教师必须具备创新意识，创造能力，这才是真功夫.

3.3 评价的科学性

在有限时间内教师创作的数学问题的水准，需要根据数学核心素养的评价标准，科学地加以评判，正象烹饪大师的作品也要经过美食家、营养家、评判专家的评判一样，虽然每个人的评价可能是模糊评判，但整体而言还是可信的，所以对于教师创造的数学问题，也可以用模糊评价方法实施.