远看方知出处高—— 一道数列模考题讲评课教学设计

安徽省太湖中学 (邮编：246400 )

1 题目

本题是2018年南昌市一次高考模拟考试中第16题填空压轴题，在做题和思考中，我发现此题立意高远、涉及面广、综合性强、推广度大、丰富深刻，引起了我的重视. 于是我从试题背景、解法、联想、启示等多方面认真分析和探究，上了两节讲评课，“远看方知出处高”的感受油然而生.现将教学设计整理如下，供2019年高考备考复习参考[1].

2 背景

3 解答

第三步, 等价转化恒成立不等式，得到答案.

4 联想

4.1 引申联想

结论1对于等差数列{an}，Sn为其前n项和，则S2n-1=(2n-1)an.

学生练习1已知数列{an}的前n项和Sn=2n2-n,n∈N*，则通项an=.

解析显然{an}是等差数列，所以S2n-1=(2n-1)an.

因为Sn=2n2-n=n(2n-1),所以S2n-1=(2n-1)(4n-3).

于是(2n-1)(4n-3)=(2n-1)an，an=4n-3.

学生练习2已知{bn}是各项非零的等差数列，其前n项和为Sn，且S2n+1=bn·bn+1,则通项bn=(2017年高考山东数学题)

解析因为S2n-1=(2n-1)bn，所以S2n+1=(2n+1)bn+1.于是S2n+1=bn·bn+1就是

(2n+1)bn+1=bn·bn+1，所以bn=2n+1,n∈N*.

A．5 B．4 C．3 D．2

当n+1=2、3、4、6、12,即n=1、2、3、5、11时，满足条件.故选A.

设计意图 从解题中发现一些事实，自然引申出等差数列的两条重要性质，再通过三道简单的练习题，巩固结论，加深理解，实现解题过程的延伸与拓广.

解析设等差数列{an}的公差为d.

4.2 类比联想

从等差数列向等比数列类比，得到

解析 因为a1an+1=a2an=a3an-1=…=an+1a1，所以

解析(1)设t1、t2、…、tn+2构成等差数列，其中t1=1,tn+2=100，

则Tn=t1+t2+…+tn+1+tn+2=50.5n+101. 所以an=10Tn=1050.5n+101,n∈N*.

(2)显然{an}是以10151.5为首项、公比为1050.5的等比数列.

4.3 逆向联想

对结论3和结论4作逆向思考，得到

所以a1=nan-(n-1)an+1(n≥2). 由两式相等得递推公式，2nan+1=n(an+2+an),

即2an+1=an+an+2(n≥2).

故{an}是等差数列.

而数列a1,a2,…,an,…中的每一项都为正数, 所以an+12=an·an+2(n≥2).

a22=a1·a3.即an+12=an·an+2对任何n∈N*都成立，故{an}是等比数列.

设计意图所谓逆向思维往往是相对于正向思维而言的，简单地说就是指从问题的反面入手，进行观察、思考、分析与探索的一种思维活动. 在数学学习中，逆向思维主要表现在：逆用定义、公式、法则；逆向进行推理；反向进行证明(反证法)；从反方向形成新结论(如探讨性质、定理的逆命题是否成立)，等等. 这里是从反方向形成判定等差数列与等比数列的新结论，培养学生思维的批判性和深刻性，发展创造性思维.

4.4 混合联想

设计意图只要分别将结论3与结论5、结论4与结论6的证明合并即可得到结论7和结论8的证明.所谓混合联想，简单地说就是在引申联想、类比联想、逆向联想中至少含有两种或两种以上思维形式的联想. 这里从结论3和结论5得到结论7，从结论4和结论6得到结论8，获得等差数列和等比数列一个新的充要条件，对两类特殊数列又有了进一步的深度认识与理解.

5 启示

以上我们从一道高考模考题出发，通过透视解题要素、发掘隐含性质、联想多个结论、练习反馈矫正，形成了一串知识网络、方法网络和思想网络，收到了点动成线、线动成面、面动成体的效果.在整个探究过程中, 融直观想象、数学抽象、逻辑推理和数学运算等数学核心素养于一体，有效培养了学生的直觉思维能力、合情推理能力和探究证明能力[3]，并让等差数列和等比数列规律的对称美、和谐美和统一美尽现其中. 这给我们的启示是: 好的模考题或高考题往往具有针对性、示范性和拓展性，如果教师讲解前认真思考、认真发掘、认真研究, 通过发现其联系、发现其差异、发现其规律、发现其本质等等，让模考题或高考题发挥复习功能，起到以点带面、以一当十、举一反三、融会贯通的作用，促使学生的思维水平和解题能力达到一个新的高度. 这不失为高考备考复习一种很好的课堂教学模式.