温度场中悬索受多频激励组合联合共振响应研究

赵珧冰， 林恒辉， 黄超辉， 陈林聪

(华侨大学 土木工程学院, 福建 厦门 361021)

外部激励通常由多个激励源组成，而多频激励下的非线性系统会表现出更加复杂的动力学行为[1]。受多频激励的系统不仅可以同时发生主共振、超谐波和次谐波等共振响应，而且当多个激励频率的线性组合接近系统固有频率时，会发生各类组合共振[2]。研究表明系统在多频激励下更容易产生混沌行为，从而导致系统振动或不规则运动，甚至会导致振动系统崩溃[3]。

一方面，研究人员针对各类经典系统，比如：Duffing系统[4-6]、Van der Pol系统[7]、Duffing-Van der Pol系统[8]、分数阶Van der Pol系统[9]等，开展了受多频激励下的非线性动力学行为研究。另一方面，研究人员针对Winkler地基梁[10]、叠层板[11]和轴向运动梁[12-13]等基本结构，研究其受多频激励下的联合共振响应。

事实上，拉索作为一类工程应用和理论研究都极其广泛的柔性结构[14]，其非线性动力学方程中同时包含平方和立方非线性项，非线性动力学行为非常丰富[15]。而实际工程中，索结构长期暴露在自然环境中，会受到太阳辐射、昼夜交替和温度骤降等各类环境因素的影响，承受明显的温差作用，形成温度应力，该应力甚至可能超过活载应力的大小[16]。因此随着温度敏感性材料的发展以及工程精细化分析的需要，研究人员越来越重视温度变化对索结构动力学特性的影响研究[17-25]。

综上所述，当悬索受到多频激励时，其非线性动力学行为将变得更加复杂，然而已有研究并不多见，倘若进一步考虑温度效应的影响，其振动特性将发生哪些定性和定量的改变，则更加值得关注与研究。因此本文以受多频激励的悬索，当系统同时发生组合共振和超谐波共振时，通过建立考虑温度变化时悬索的非线性运动微分方程，利用Galerkin法进行无穷维离散，然后利用多尺度法求解组合-联合共振时的幅频响应方程组，并判断其稳态解的稳定性。最后通过数值算例定性和定量地分析温度变化对悬索组合-联合共振响应的影响。

1 动力学方程

图1 悬索构型及特性

已有研究表明温度变化对拉索的影响主要通过以下几个方面：首先就是温度变化会导致拉索发生热胀冷缩，影响拉索的长度，改变拉索张拉力和垂度；其次就是温度变化对材料弹性模量的影响，具体而言，对于拉索来说，温度每升高1℃，其弹性模量减小约0.036%，而在常规温度变化的范围内(比如：±40℃)，可以忽略温度变化对其弹性模量的影响；接着就是阻尼系数，由于拉索是一类轻阻尼的柔性结构，一般而言研究人员都忽略了温度变化对拉索阻尼系数的影响；最后就是边界条件，由于其影响过于复杂，至今也没有定论。因此在悬索的动力学建模中，研究人员一般也忽略了温度变化对悬索边界条件的影响。

基于上述论述，本文重点考虑温度变化导致的悬索张拉力和垂度的改变，由于悬索的对称性，在其非线性动力学建模中，可以引入张力改变系数：

(1)

式中：H(b)和HΔT(bΔT)分别表示温度变化前后悬索的张力(垂度)。

不考虑温度变化影响，引入拟静态假设，利用Hamilton变分原理，忽略悬索的弯曲、扭转和剪切刚度，其面内非线性运动微分方程为：

(2)

式中：一点表示对时间t求导，一撇表示对坐标x求导；m和cv分别表示悬索单位长度质量和阻尼系数；A表示横截面面积；E为弹性模量；H为初始水平张力；y表示悬索静态构型y(x)=4b(L-x)x/L2；g表示重力加速度，外部激励由两部分组成(m=1,2)，其中：Km表示激励幅值，Ωm和θm分别表示激励频率和相位。

基于本文的假设，可知方程(1)中有且仅有与悬索张力和垂度相关的项与温度变化相关。为表述简便，引入张力改变系数χ2以及以下无量纲参数：

(3)

那么当考虑温度变化影响时，受多频激励的悬索面内非线性运动微分方程可以表示为：

(4)

式中：忽略了符号的上标星号。

假设悬索是由正对称和反对称模态组成的多自由度系统，其面内运动可以表示为：

(5)

式中：qn(t)表示广义坐标；φn(x)表示模态函数。

将方程式(5)代入式(4)中，可得：

(6)

式中：方程各项系数的表达式见附录A。

2 摄动分析

当系统发生组合-联合共振时，假设不考虑模态间的内共振，解的二阶展开式表示为：

qn(t;ε)=qn0(T0,T1,…)+εqn1(T0,T1,…)+…

(7)

式中：Tn=εnt。

根据多尺度法，将阻尼项，平方和立方非线性项摄动到不同阶：

(8)

Λjknqjqk=εΛjknqjqk

(9)

Γjklnqjqkql=ε2Γjklnqjqkql

(10)

将方程式(7)～(10)代入式(6)中，另方程两端ε0、ε1和ε2的系数相等，可得以下三个微分方程[26]：

(11)

(12)

(13)

式中：Dn=∂/∂T。

方程(11)的解可以表示为：

(14)

式中：cc表示共轭项以及

将方程式(11)代入式(12)中，消去久期项，可知D1an=0，由此可得到qn1的表达式。再将所得结果代入式(13)中，同理消去久期项可知qn2的表达式。

为研究简便，本文仅考虑悬索单模态运动，因此单模态离散后的运动方程表示为：

(15)

由于悬索同时包含二次和三次非线性，多频激励下的非线性振动特性复杂，比如主共振，组合共振，1/2和1/3阶次谐波和二次和三次超谐波共振等。本文以悬索同时发生一类减法型组合共振(Ω2-Ω1≈2ωn)和三次超谐波共振(3Ω1≈ωn)为例，利用多尺度法求解系统的幅频响应方程组，并且判断稳态解的稳定性。

对于本文的组合共振和超谐波共振，引入两个调谐参数：

3Ω1=ωn+ε2σ1和Ω2-Ω1=2ωn+ε2σ2

(16)

从qn2中消除久期项，可得：

(17)

式中：δn1为Delta函数，fn、αjn、y1和p1详见附录B，上标横线表示共轭项。

An(T2)可以表示为复数的极式表示：

(18)

式中：an和βn是T2的实函数。

因此将方程式(18)代入式(17)中，分离实部和虚部，当n=1时，可知：

(19)

y1a1cos(γ2)=0

(20)

式中：γ1=σ1T2+3θ1-β1和γ2=σ2T2-θ1+θ2-2β1。

对于本文研究的组合联合共振情况，不妨假设σ=σ1=σ2/2和γ=σT2-β1，可得稳态运动方程：

μ1a1-2p1sin(γ+3θ1)-y1a1sin(2γ-θ1+θ2)=0

(21)

y1a1cos(2γ-θ1+θ2)=0

(22)

式中：当n≥2时，an≡0。

系统稳态运动的稳定性取决于奇点的性质，对于响应幅值和相位，引入两个小参数：

a1=a10+a11和γ=γ0+γ1

(23)

将方程式(23)代入式(19)～(20)中，对小参数a11和γ1展开，且已知a10和γ0满足方程式(21)～(22)，保留到a11和γ1的线性项，可得：

(24)

(25)

式中：稳态解的稳定性取决于右端系数矩阵的特征值，当且仅当每个特征值的实数部分均小于等于零时，稳态解才是稳定的，否则稳态运动就是不稳定的。

3 数值算例与分析

悬索的各项物理参数分别为：L=200.0 m、A=7.069×10-2m2、E=200 GPa、ρ=7 800.0 kg/m3、α=1.2×10-5/℃以及g=9.81 m/s2。无量纲化后的阻尼系数为0.005，两个激励幅值均为0.05，且不考虑两个激励之间的相位差(θ1θ2=0)。

利用基本力法对悬索温度变化前后进行静力学分析，可以得到张力改变系数的大小。基于特征值分析，可以得到温度变化前后的线性项和非线性项系数的大小。数值计算时令方程式(21)～(22)中相位γ从0变化到2π，然后求解对应的稳态运动方程组，即可得到系统响应的幅频响应曲线和调谐相位曲线，从而分析温度变化对悬索组合联合共振响应特性的影响。

由于悬索的非线性振动特性与其垂跨比的大小密切相关，而且温度变化对于不同垂跨比的悬索表现出较大的区别，因此本文选取四组垂跨比的悬索进行分析，分别为：0.002 5，0.006，0.01和0.015。基于《公路桥涵设计通用规范》(JTG D60—2015)中对温度变化范围的规定，本文温度变化工况选取为±40℃和±20℃。

由于组合共振和超谐波共振同时存在，因此系统的振动特性将变得更加复杂，如图2～图5所示，此时系统同时存在组合共振和超谐波共振响应的特性。当悬索发生组合联合共振时，系统最多存在三支曲线，分别为A、B和C。对应给定的调谐参数，系统最多存在五个稳态解，其中三个是稳定的(实线表示)，两个是不稳定的(虚线表示)，而最终解则由初始条件确定。由于系统的幅频响应曲线存在多解现象，为了更清晰的描述各类稳态解，因此引入了调谐相位曲线，从该图中可以清晰区别幅值非常接近的稳定解和不稳定解。

图2描述了当悬索的垂跨比为0.002 5时，温度变化对其非线性振动特性的影响，此时悬索垂跨比非常小，幅频响应曲线向右偏转，系统展现出明显的硬弹簧特性。随着温度上升，固有频率下降，平方非线性项的系数增加，而立方非线性项的系数几乎不变。从幅频响应曲线来看，此时振动特性受温度变化的影响有定量改变，随着温度上升，幅频响应曲线向右偏转程度增加，曲线整体向右移动。而从调谐相位曲线而言，如图所示，曲线B和C受温度变化的影响要比A明显。

(a)

(b)

图3描述了四种温度变化的工况情况下，系统发生组合联合共振时的幅频响应曲线和调谐相位曲线。曲线均由三支曲线组成，最多存在五个稳态解。当温度变化为-20℃时，幅频响应曲线仍然向右偏转，展现出硬弹簧特性，图中两个不稳定解的响应幅值十分接近，但是从调谐相位曲线可以清晰地将其分别出来。然后温度继续降低至-40℃，此时共振的区间略有减小，幅频响应曲线的形式并没有发生太明显改变。但是观察其调谐相位曲线图，系统响应幅值的相位却发生了明显的定性和定量的改变。当温度变化为+20℃时，此时幅频响应曲线向右偏转程度降低，而当温度变化为+40℃时，幅频响应曲线反而向左偏偏转，此时系统展现出明显的软弹簧特性，这一特性与温度上升时，平方非线性项的系数明显增大相关，此时在非线性振动中平方非线性的软化起了主导作用。对比其调谐相位曲线图，同样发生了明显的定性和定量的变化。值得指出的是：图3(a)、(b)和(c)中，两个不稳定解的幅值非常接近，但是如图3(d)所示，此时响应幅值较为接近的是两个稳定解。但是通过观察期相位，可以清晰地将其分辨。

接着悬索的垂跨比进一步增大到0.01，系统发生组合联合共振时的振动特性如图4所示。图4(b)、(c)和(d)分别表示温度变化为-20℃、+20℃以及+40℃的工况，对比可知，此时系统在平方非线性的软化作用下，会展现出明显的软弹簧特性，幅频响应曲线向左边偏转。而且随着温度的不断上升，向左偏转的程度不断增加，反之，当温度下降时，幅频响应曲线向做偏转的程度则降低。当环境温度变化下降至-40℃，此时平方和立方非线性项的系数均减小，但是由于平方非线性项系数下降程度明显大于立方非线性项，因此非线性项对系统的软化程度下降，硬化程度上升，从而导致幅频响应曲线向右偏转，展现出明显的硬弹簧特性。对比相应得调谐相位曲线，亦发生了明显的定性和定量的改变，此时在响应幅值较大的区间，两个稳定解和两个不稳定解的响应幅值非常接近。

(a) ΔT=-40℃

(b) ΔT=-20℃

(c) ΔT=+20℃

(d) ΔT=+40℃

(a) ΔT=+20℃

(b) ΔT=-20℃

(c) ΔT=+20℃

(d) ΔT=+40℃

最后悬索的垂跨比增加至0.015，系统的幅频响应曲线和调谐相位曲线如图5所示。此时非线性振动仍然最多存在五个稳态解，而且两个稳态解的幅值非常接近，最终由系统的初始条件确定。在单模态离散的影响下，系统的幅频响应曲线均向左偏转，展现出明显的软弹簧特性。而且随着环境温度升高，向左偏转程度增加，响应幅值减小；反之，随着环境温度下降，向左偏转程度降低，响应幅值增大。对比温度变化下的调谐相位曲线，均发生了一定程度的定量变化。数值计算结果表明，如果悬索的垂跨比进一步增大，温度变化对振动特性的影响并没有再出现定性程度的改变，因此本文也就不再赘述。

(a)

(b)

4 结 论

本文对悬索一类减法型组合共振和三次超谐波共振同时发生时的响应及其受温度变化影响展开了研究；与单频激励不同，此时系统同时展现出组合共振和超谐波共振响应的特性，稳态解个数、响应幅值及相位、共振区间等均会发生改变；温度变化会使得组合共振和超谐波共振发生定性和定量的改变，从而导致联合共振响应亦发生明显的定性和定量的变化；悬索组合联合共振响应受温度变化的影响与悬索的垂跨比和温度变化的幅度密切相关；为了更好地区分系统受多频激励下的的稳态响应，研究解的相位非常重要。

附录A

附录B