取势、明道、优术——对图形面积一线等分问题的思考

胡柳青

(浙江省桐庐县分水初中教育集团 311500)

章建跃博士提出了数学教育的“取势、明道、优术”，意指教师要顺应数学教改的潮流，懂得数学育人的原则，掌握提高数学教学质量的规律，提高教育教学能力，优化数学教学方法.在数学教育中，无论是概念的形成，定理、公式、结论的推导，还是过程、方法的探索都离不开解题教学，毫不夸张地讲，“掌握数学就意味着善于解题”.综观当前数学解题教学，“教师示范讲解，学生模仿练习”依旧是课堂的“主旋律”，“题海战术” 依旧是应对考试的“法宝”.为何数学教育教学改革风起云涌，而数学解题教学却还在“墨守成规”.我们不禁要思考：数学解题教学该如何“取势、明道、优术”？下面是笔者在“图形面积一线等分问题”解题教学中的一点尝试，不当之处，欢迎广大同仁斧正.

一、如何取势

数学习题是由课本的有关知识、信息、符号，通过迁移、发散和综合而来的，相关问题的知识源就是解决此类问题的最佳策略和致胜法宝.因此在解决具体问题时，我们首先要明确这是哪类问题，然后追溯与此类问题相关知识点有哪些，最后综合条件选定解决本题所适用的知识点，因此，相关问题的知识源就是解决此类问题的突破口.图形面积一线等分问题常见解决策略：1.过中心对称图形的对称中心的任一条直线把它面积两等分；2.三角形一边上的中线把它分成面积相等的两个三角形； 3.经过梯形上、下底中点的直线把梯形分成面积相等的两个梯形； 4.直接运用图形面积公式计算处理.由此，解题的方向即可明确.

二、如何明道

方向已经确定，接下来就应该是如何去解决问题，掌握解决问题的方法.教学中要以知识溯源为主线，以“怎样做、怎么想、怎么拓”为三步曲进行专题复习，一题多解，多解归一，让学生知其然，然后知其所以然，从而起到事半功倍之效.

三、如何优术

“以题会类”的习题教学最高境界，是着重培养学生解决问题的综合学力.通过上题的解析，为学生今后处理“图形面积一线等分问题”提供了一个分析范本，极大地提升他们解决此类问题的能力.但解题不能只是目的，不能只为解题而解题，而要从解题中提炼出方法、思维，哪么，从上述的解题过程中我们还能有些什么思考呢？

思考一：解题的关键点在哪里，通法又是什么？

还可以继续思考，在CM间是否存在某个点L，使得过LN的直线等分梯形OCDB的面积？如图7-1，7-2，7-3，7-4，可得直线旋转后所变化的图形面积不可能为等积变化，由此可知点L不存在.同样的，如图8，如果点M不变，直线绕点M旋转，则可得直线平分梯形面积的比值在不断变化，也可得出直线的极限位置时，n的极端值，不再一一赘述.

思考三：三角形的面积如何等分，一般四边形的面积又如何等分？解法3中利用三角形中线平分三角形的面积这一知识进行求解，继续思考能否过直线外一点来平分三角形的面积？上述图形是直角梯形，有一边是平行的，为构造面积相等的三角形提供了便利，那么，如果是一般四边形，又能如何平分.由此可得出下述求解方法.

如图10，联结AC，过点B作AC的平行线BE，交DC的延长线于点E，连接AE，交BC于点O，则S△ABC=S△AEC，得S△AOB=S△COE．取DE的中点F，连接AF，得S△ADF=S△AEF．又S△AEF=S四边形AOCF+S△COE=S四边形AOCF+S△AOB=S四边形ABCF，即S四边形ABCF=S△ADF．故AF就是四边形ABCD的面积等分线．过P作直线PN交AB、DC于点G，H，若GF∥AH，则S△AHG=S△AFH，可得S△AGN=S△FHN，由此可得直线PN等分四边形ABCD.