数学科学教学法点滴回顾——纪念“MM实验”30年

杨世明

(天津宝坻教研室 301800)

I

教学方式方法的改革，自20世纪80年代以来，我国的“数学教学方法”层出不穷.按学生参与方式与程度的不同，冠以“自学”、“研究”、“学导”、“指导发现”等各种名目，各种方式的排列组合推出的方式方法有几十种之多.如上海的“读议讲练”八字教学法，上海青浦的“尝试指导、效果回授”教学法、上海师大附中“引导发现”教学法，湖南师大附中“引导发现法”，辽宁实验中学的“研究法”，广州市一中的“研究教学法”，景山中学的“单元教学法”，江苏南通李庚南的“自学、议论、引导”教学法，石家庄教委的“启导、自学”教学法，江苏扬州张乃达的“提前形成观念”教学法，云南昆明的“优化组合”教学法，以及传播较广、影响范围较大的，重庆西南师大的“GX(高效学习法”)、湖北大学黎世法提出的“六课型单元教学法”、心理所卢重衡的“自学辅导”教学法；特别是依据(美国)布卢姆“掌握学习”理论形成的“目标教学”法(即先告知“目标”、结论，再出谜语、试题考试)，全国学校开展实验、模仿、使用.“老师讲、学生听”式的教学方式，有所转变，学生较多的参与了教学过程，取得了个别的、零星的“成效”，但是，不数年间，这些人们花费了好多心血的“数学教学改革实验”，很多已不见踪影，没有在教坛上形成有价值的影响.这是为什么呢？

早在20世纪初，希尔伯特、克莱因、弗赖登塔尔、华罗庚等人就致力于数学方法论的研究，我国数学教育家傅种孙，美籍匈牙利数学教育家波利亚，更紧密结合数学教育实践，思考数学研究、数学认知、数学学习的特征，进行了一系列实验(如举办“解题讲习班”、“教师培训”)，领悟到：数学教学必须遵循数学发展的规律，数学教学法必须具有数学的特征，才能有好的效果.徐利治教授创立了“数学方法论”学科.通过持续的学习和研究，我们终于明白了，这次持续了近十年之久的“数学教育改革”没能深入的原因在于，在教学方法上，缺乏数学的特征，只注意形式上的改变(或拘泥于数学的一招一式，或置数学的特点于不顾)，而未从数学的特点方面进入思考.认识到这一点，从而使数学教学从迷茫的道路上急速回转，让数学教学的方式方法回归到“数学方法论”的基础之上.

II

1989年5月，首师大周春荔教授与作者倡议并在首师大主持召开了首届傅种孙与波利亚数学教育思想(即数学方法论)研讨会.

傅种孙是北京师范大学原副校长、教务长，数学系主任，一位有为有守的数学家、教育家.波利亚是美籍匈牙利著名的数学家、数学教育家.他们早在20世纪30年代，就把数学方法论(不过当时没有这个名称)的基本思想，用于数学培训活动，举办解题讲习班，为中小学培养高水平的数学教师.傅种孙对数学教材，讲求“正流清源、修根固本”，认为“几何之务不在知其然，而在知其所以然；不在知其所以然，而在何由以知其所以然.”即讲求探索、研究和发现；他所著的《高中平面几何》，同波利亚的《怎样解题》和《数学发现》一样，反复例释如观察、实验、归纳、类比、推广、限定、猜想等，(用于探索发现的)合情推理方法，提出和研究了大量问题和课题，简直就是一本“数学方法论”的著作，使学习者必须用研究的态度去学习，逐渐被“逼上”一般解题方法的“梁山”.本书实在是数学方法论的珍宝.傅种孙作为中国数学方法论的先驱,还为中国初等数学研究作了大量的工作，提出了一系列的问题与课题，成为研究型的名师(事实上，要想成为高水平的数学教师，必须参与数学研究、积累数学研究、发现、发明的丰富经历，数学家成为数学名师的几率实在是太高了).波利亚作为一名数学家，在数学研究发现方面，成果丰硕；作为一名教育家，他对数学思维的研究，堪称对人类思想宝库的特殊贡献；早在学生时代，就对数学发现、发明感兴趣，阅读了大量数学历史文献，如欧几里得、阿基米德、帕普斯、笛卡尔、牛顿、伯努利、高斯、庞加莱，尤其是欧拉的手稿，深入探索这些名家发现数学真理的过程和经历.同时利用在各级各类学校任教的机会，观察学生的学习过程，积累第一手资料.在斯坦福大学心理实验室，进行了一系列实验，对学生的解题过程的心理特征，进行研究，通过观察、实验、分析，波利亚形成了对数学、数学研究和发现、数学教学和学习，特别是数学解题一般规律的独到见解.对合情推理的逻辑规则，进行了深入的研究，获得了丰富的结果.他关于数学教育的三部著作，《怎样解题》、《数学与合情推理》、《数学发现》风靡世界.光《怎样解题》一书，就被译成17种文字，发行100多万册，成为确确实实的数学方法论经典著作.

北京讨论会选定傅、波两位的数学教育思想，进行深入研讨，显然是适宜的.19世纪与20世纪之交的1900年8月8日，数学大师大卫·希尔伯特，作了一个《数学问题》的报告，展望20世纪数学的发展，后来被哈尔莫斯概括为“问题是数学的心脏”，报告中也展示了丰富的关于数学方法论的见解和数十个研究课题.

在早期的历史上，数学思想方法的研究者有帕普斯、笛卡尔、欧拉、庞加莱等人，但比较零散.在《数学问题》的前言中，希尔伯特则集中、全面、系统地提出：问题对一般数学进展的深远意义；好的数学问题的鉴别准则；关于数学符号；关于问题的反面解决；信心公理；关于数学分合的进展规律；关于存在性、构造性、无限性；关于几何、算术公理的相容性、关于数学基础问题的研究；关于简单化与严格化的关系；关于形式化与元数学的思想；关于一般科学公理化的思想；关于演绎推理与合情推理等等，都有待我们去研究开发.弗赖登塔尔则提出，数学教学要经历“数学化与再创造”的要求、不教现成的数学的主张.可惜，他们都是离开数学教学，单独提出这些主张的.

唯有傅种孙和波利亚，以数学教育家的身份，紧密结合数学教学研究这些问题，他们的《高中平面几何》和《怎样解题》，就是写给老师和学生的.他们对于数学思想的研究和论述，最易于为广大师生理解和接受，可以作为范例和楷模，因此，中国数学教育工作者，选择波、傅两人的数学教育思想进行深入研讨，进行深入探索研究，是选对了方向.

III

正当北京波利亚、傅种孙数学教育思想研讨会，紧锣密鼓筹备期间，无锡教育科学研究所，也在策划一次应用傅、波思想设计一个数学教育实验，使数学教学真正具有数学特色，真正走上正规.所以当1989年5月无锡接到参会通知的时候，以徐沥泉为首的团队立即派人出席了会议，而且在会后当年9月，就拿出了“实验方案”，这就是“贯彻数学方法论的教育方式，全面提高学生素质”数学教育实验，简称“MM实验”或“MM课题”.

这个实验的核心部分，是解决了傅种孙和波利亚在长期实验中，没有能够解决的问题：“怎样系统地在教学中应用数学方法论，并把它转化为学生的素质”？请看下面的表：

首先能够把数学方法论的基本原理，分解为“MM因子”，再把MM因子，转化为“MM可控变量”，通过操作，即可转化为“状态变量”，这里，可控变量就是教学方法，通过恰当的操作、实施，即可转化为“状态变量”即学生的素质，“转化”和“操作”就是运用“数学方法论”的过程.

现在，我们明确了数学方法论的运用，就是恰当的将其基本原理，分解为适当的“MM因子”，通过教学设计，变为恰当的教学方法，用于数学教学，使学生理解、掌握数学概念、方法、命题，从而逐渐形成学生的优良品质.这就是数学方法论的系统应用.

随着这个核心问题的解决和明朗化，“MM教育方式”的方案设计，即算基本完成.那么，“MM教育方式”的最初表述是：“在数学教学过程中，教师遵循数学本身发现、发明与创新等规律，遵循学生身心发展与认知规律，力求使它们协调同步，并引导学生不断自我增进一般科学素养，提高社会文化修养，形成和发展数学品质，全面提高学生素质.”

通过反思和实践，发现“MM教育方式”，具有“数学特色”，“可行性”，“普适性”，“可持续发展性”，“现代性”，“中国特色”，“混沌性”，“辩证性”，“与时俱进”，“提升身心健康水平”、“着意抓双基”，“兼顾尖子生、大多数和差生”等14项优良特征.

建立团队，成立课题组，1989年9月投入实施，经过5年3轮缜密实验、研究、探索，并经反复论证和修改，课题于1994年结题.在1994年5月3日——7日召开的全国第三届数学方法论学术研讨会期间，以原北师大校长、中科院院士王梓坤为组长的全国专家鉴定组，通过审读实验报告、听取课题组结题汇报、亲临一线听课，与实验班师生座谈，开会研讨、质询等形式，对“MM实验”进行了严格、细致的鉴定，鉴定结果认为：

“该实验深入分析了20世纪80年代以来，我国数学教育教学改革得失的基础上，学习和借鉴了国内外，数学方法论研究的理论成果，并把它与我国数学教育改革实践相结合，率先在较大范围内，成功地进行了具有教育科学形态的数学教育实验，应该说是数学教育方面的一个创举.

“该实验充分考虑了数学教育的文化教育功能和技术教育功能，把在数学教学中提高学生的一般科学素养、社会文化修养和数学品质，以及提升身心健康水平，作为实验的目标，有坚实的理论基础.实验方案中，对MM因子的分解、转化，可控变量基本操作的设计，状态变量的控制，以及指标体系的制订与评价，是比较科学的，对无关变量的控制是有效的.

2.尊重人民主体地位，确立主体性思维方式，充分调动社会各阶级阶层群众的积极性和创造性。一方面，从强化人民群众作为主体的地位、素质和能力这个基本点出发，研究人民群众作为主体存在和活动的基本规律以及主体性的实现方式，创造人们平等发展、充分发挥聪明才智的社会环境，最大限度地发挥人的主体性作用，最广泛最充分地动员和组织人民群众投身中国特色社会主义伟大事业；另一方面，尊重群众创造，及时发现和总结人民群众创造的新鲜经验，把人民群众的实践要求和实践创造作为中国特色社会主义创新的不竭源泉，不断为中国特色社会主义注入新的活力。

“该实验观察资料和数据，均来自实验本身，实验结果支持了它的实验假设.

“该实验所确证的MM数学教育方式，只需对原有教材适当地进行教学法加工，操作简便，能与各种优秀的教学方法协同使用，既能减轻师生负担，又能提高教学效益，从而大幅度提高数学教学质量.

“因此，鉴定组认为，这种数学教育方式，在小学、中学以及职教和成人教育中，都是可行的、有效的.值得继续实验和大力推广.”

做出了这样高水平的鉴定，就等于为MM教育方式，发放了进入21世纪的通行证.

IV

有了这个高水平的鉴定，也就意味着一个新型的数学教育方式的诞生，也就意味着“MM教育方式”实验研究的成功，从此进入一个新的阶段.由于实验取得的显著效果，和一个无形的全国“MM课题组”的形成，大力传播，“MM实验”推广到全国各地.

首先是天津(天津师范大学、宝坻区、塘沽区、河东区、河西区、西青区)，然后是北京(首都师大、北京师范大学、北京朝阳区)，再后是河南师范大学、濮阳教育学院，河北保定师专、张家口市、邯郸市、秦皇岛市、沧州师院，山东师范大学、山东教育学院、泰安师院、枣庄师院、淄博市、青岛市，甘肃兰州市、西北师范大学、天水市，湖北大学、武汉市、襄樊市、郧阳师专、鄂州市，新疆乌鲁木齐市、昌吉州、昌吉师专、库尔勒、吐鲁番、克拉玛依市、喀什市、兵团，陕西汉中师范学院，福州市教育学院、福建教育学院，山西太原市、长治、离石，四川成都、宜宾(高县)，重庆，贵州兴义、贵阳，广州、深圳等等，所到之处，受到学生、家长、老师和教育行政部门的热烈欢迎.

在这一阶段的实验研究，要解决的主要问题有三：一是把用实验语言表述的“MM教育方式”，用通俗的、习惯的语言，加以解释或转述，使大家容易弄清其含义；二是研究解决“教学设计”、“课堂实施”、“教学评价”(听课评课)等问题，积累一系列的课例与范例；三是深入探索、推广和开展应用性实验的路子，并且为培训实验教师提供丰富的资料、文献、著作，甚至通过讲学、讲习班等形式，直接培训大量的MM型教师.

实验还告诉我们，教学中，千万不能背诵和套用教学法中那些条条，而是要领会MM教育方式的精神实质，要依据教材和学生的实际情况，自然地使用，要就数学的本性而论，顺着学生特点之势而为，就好像知时节的“好雨”，改变学生的不良习惯，养成优良的习性，完成在不知不觉中.

这样，一旦我们的教学实验完成，我们的实验教师，就会养成“创新设计，顺势教学”，渗透数学思想，培育学生良好的数学品质的好习惯，把自己的数学教学，逐渐提高到应有的水平，加之能够养成反思(自己的教学)、学习、研究(教学、初等数学)的好习惯，就会成长为高水平的数学教师.

V

“MM教育方式”的实验研究，与众多的教学实验一个很大的不同之处，就在于它是边实验、边研究、边改进，形成一个开放的、与时俱进的系统.

自“MM方式”初步形成之后，就自动定下一条“规矩”，每进行一段实验(大约1至2年)，紧跟着，就要召开一届“波利亚数学教育思想与数学教育改革学术研讨会”(简称P.M)，反之，哪一个省市、单位，要申请主办P.M，就要率先开展MM实验，以供与会者参观学习.除了上海举办的II届会，没有实施此规定之外，此后举办的襄樊(III)、武汉(IV)、天津(V)、山东济南(VI)、天水(VII)、乌鲁木齐——昌吉(VIII)、四川成都(IX)、无锡(X)、贵州兴义(XI)会议，都按此办理了，效果非常好，此外，在此期间，还在无锡召开了两届这样的会议：一次是鉴定MM课题，一次是征集、评选论文，和“数学创新会议”.

由于把教育实验与研究探索紧密结合，“MM实验”在全国迅速发展，同时，把各地凡与“数学方法论”的运用有关的实验，都逐渐纳入到“MM实验系列”之中，如新疆昌吉、库尔勒等由吴勤文设计的“TEC实验”、四川王富英的“三线五环节”实验，河南濮阳的“MM(HT)实验”，都具有MM方式的特征，所以纳入了“MM系列”；孙维刚老师，在北京22中搞的《三轮数学教育改革实验》，充分运用了“数学方法论”中的“宏观方法论”(也用微观部分)，做出了巨大的成绩，它的许多经典做法，也被吸收到“MM教育方式”之中，总之，MM方式是一个高度开放的与时俱进的教育系统.

“MM教育方式”率先遵循傅种孙、波利亚的数学教育思想，实践具有数学特色的教学目标和方法(如数学具有技术和文化教育两个功能，具有提升身心健康的功能；数学问题具有促进人的思维、增强人们探索、研究、发明发现的功能，数学美具有提高人们的兴趣、好奇心、鉴赏力，等等)，作者是北师大数学系1962年的毕业生，自始至终参与了“MM方式”的实验研究、推广传播；2009年2月，王梓坤院士又为MM教育方式题辞：“MM数学研究及教学方法，系国内数学界首创.它不仅有充足的理论依据，而且在相当广泛的范围，取得了很好的实际效果.通过20周年纪念，MM课题一定会更加完善，水平更加提高，并将取得更大的成绩，为我国数学教育和研究做出更多的新贡献.”北京师大数学科学学院刘绍学教授，以《数学通报》主编的身份，参加了MM方式的四届会，即席发表了关于“数学教育的人”的著名讲演，认为“数学教育的人”应通过“学习+教学+研究”来培养，其中研究=初等数学研究+MM实验；2009年2月，他再次为“MM实验”题辞：“我第一次接触MM教学法，是1997年在武汉召开的三届教学交流会上，即我为《数学通报》主编，了解中学数学教学情况的一次活动.虽然是第一次接触，但MM教学法的主张及其实践活动，给了我很深的印象，可以说是‘一见如故’.”“MM教学法使我一下子联想到，我的老师傅种孙先生的教学，傅先生在我大三的时候(1949年)，给我们讲‘近世代数’课，从小学到大学听过很多优秀老师的课、名家的课，留下很深的印象.然而听过一学期傅先生的课后，我就非常明确了：将来教书时，就要以傅先生的教学为榜样，学习傅先生的教学.”“我认为MM教学法的主张，和傅先生实践教学的作为是一致的：学习数学，理解数学，研究数学，深入理解教学内容，要对数学内容有感受、有体会，虽然不能对所有内容都做到这一点(这是很难做到的)，但一定是努力去做了，这是教好课的首要条件.”

最后要说的是，北京师范大学编辑出版的《数学通报》，多次刊发MM方式的有关文章，报导MM方式实验研究的信息、研讨会，编辑部还与《数学教育学报》编辑部一起，联手承担《全国数学方法论与数学教育改革学术研讨会》，在无锡召开的这样的会议上，王梓坤、刘绍学和上一任《数学通报》主编张英伯都参加了会议，张英伯还作了《世界数学家大会和新世纪的数学问题》的报告.还有，北师大著名的钟善基教授，深入地参与了北京朝阳区六年的“MM实验”.

总之，北京师范大学数学科学学院多层次地参与了“MM教育方式”的创制、研究、实验和形成，为之做出了自己的奉献，我们期望在未来的岁月中，“MM教育方式”逐步，成长为实实在在“数学教学法”并结出丰硕的果实.