高中数学中的三角函数变换之我见

摘 要：三角函数知识是高中数学学习中的重点和难点，相关的题目求解让很多学生如坠雾中，极大地削弱了我们的数学学习自信。笔者在平时的学习中，对此类问题进行了粗浅的总结，现和大家分享。

关键词：高中数学；三角函数；变换策略

三角函数属于高中数学中的关键内容，因三角变换灵活多样、种类繁多，学生学习和掌握起来较为困难，很多学生面对此类题目一筹莫展。不过三角变换并非无规律可循，我们在学习此类知识的过程中，要不断总结方法，掌握变换的基本规律，遇到难度较大的题目时，能够采用恰当的解题方式与基本公式，将复杂的高难度问题转变成简单的基础性题型，从而实现合理变换，提高解题效率。

一、 函数名称相互变换，简化明确解题思路

例如，已知2sin2α+sin2α1+tanα=k，（π4<α<π2），尝试用k表示sinα-cosα的值。分析：该题目中出现不同名称的三角函数，这就需要将不同名称的三角函数化为相同名称的三角函数，将已知条件中的“切函数”变换成“弦函数”，即为tanα转换成sinα、cosα的等式。解答：根据2sin2α+sin2α1+tanα=2sinα（sinα+cosα）1+sinαcosα=2sinαcosα=k；由于π4<α<π2，得到sinα>cosα，那么sinα-cosα=（sinαcosα）2=1-2sinαcosα=1-k。再如：已知tanx=2，求sinx和cosx的值。分析：这是一道典型的函数名称变换题，题目中的已知条件是切函数，未知条件是弦函数，只有将切函数变换成弦函数，实现函数名称的统一，才能够找准解题切入点，解题思路先变换，再结合三角函数公式建立方程组进行求解。解答：由于tanx=sinxcosx=2①，又因为sin2x+cos2x=1②，将两者联立起来形成一个方程组，解得sinx=255cosx=55，sinx=-255cosx=-55。

函数名称的变换主要依据是同角三角函数关系式或诱导公式，通过转换将题目中的条件变成名称相同的函数，达到轻松求解问题的目的。

二、 角度之间等量变换，借助拼角拆角解题

在高中数学课程中，三角函数既是重点又是难点，在计算相关问题时，我们一定要理清题目中已知角与未知角之间的相互关系，利用角度之间的等量关系进行变换，从而形成正确的解题思路。因此，在平常学习中，应当结合实际题目根据角度之间的等量关系来变换，在不断实践中灵活运用拼角、拆角的方式来分析题目，找到新的解题切入点，弄清题目中各个角度之间的关系，最终有效解决三角函数问题，增强解题自信，提升数学学习的效率。

例如，已知α是第三象限的角，cos2α=-35，那么tan（π4+2α）是值是多少？解析：本题主要考查同角三角函数的关系。解答：因为α是第三象限的角，得出2kπ+π<α<2kπ+32π，4kπ+2π<2α<4kπ+3π（k∈Z）。又因为cos2α=-35<0，则sin2α=45，tan2α=sin2αcos2α=-35÷45=-43。tan（π4+2α）=tanπ4+tan2α1-tanπ4×tan2α=1-431+43=-1373=-17。又如：若函数y=Asin（αx+β）（α>0，β>0）的图像一个最高点的坐标是（2，2），它到其相邻的最低点之间的图像与x轴交于点（6，0），求该函数的解析式。解答：根据最高点的坐标（2，2），得到A=2，最高点和最低点间隔是半个周期，从而与x轴交点的间隔是14个周期，从而求得T4=4，则T=16，所以α=π8，根据2=2sin（π8×2+β），得到β=π4，那么函数解析式为y=2sin（π8x+π4）。

虽然上述案例中的两道题目所考察的侧重点不同，不过都需要灵活运用二倍角公式，只要我们掌握角度之间的等量变换关系就能够轻松解题，再通过拼角或拆角快速求出答案，可谓事半功倍，便捷快速。

三、 公式之间逆用变用，让求解过程变得简单

在平时的学习中，大家要将常用的三角函数公式整合起来开展专题训练，在训练中学会灵活应用公式进行求值、化简、证明等，像2cos2x=1+cos2x、2sin2x=1-cos2x等，促使自己不断发现新的突破口。

比如，求（3tan12°-3）cos12°4cos212°-2的值。分析：先观看题目中的各个角，发现都是12°，载再观察函数名，需要先切割化弦，然后再化简过程中再思考怎么变换。解答：原式通过切割化弦变换成（3sin12°cos12°-3）×112°4cos12°-2=3sin12°-3cos12°2sin12°cos12°（2cos212°-1），此時逆用二倍角公式，原式=23（12sin12°-32cos12°）sin24°cos24°，利用常数变换为23（sin12°cos60°-cos12°sin60°）sin24°cos24°，逆用差角公式变换成43sin（12°-60°）2sin24°cos24°，继续逆用二倍角公式得到43sin（-48°）sin48°=-43。再如：化简下列各式：（1）32cos15°-12cos75°；（2）tan19°+tan41°+3tan219°tan41°。分析：（1）考虑到题目中32、12所对应的角是特殊角，需逆用差角的正弦公式；（2）对tan（19°+41°）变形即可化简。解答：（1）原式=sin260°cos15°-cos260°sin15°=sin（60°-15°）=sin45°=22；（2）由于tan（19°+41°）=tan19°+tan41°1-tan19°tan41°，得到33=（1-tan219°tan41°）=tan19°+tan41°，原式=3。

逆用公式有时可以极大地简化问题的求解，但公式逆用起来较为困难，我们要有逆用公式的意识，通过变通形式开拓解题思路，优化解题过程。

总之，对于高中数学中的三角函数变换，无论解题方式还是题目都需要遵循由难到易、由繁到简的基本原则。我们要在教师的指导下掌握牢固三角函数中的公式、原理、概念等，根据题目随机应变，选择合适的变换方式，最终快速、正确地求得答案，真正提升我们的解题效率。

作者简介：

周睿，江苏省宿迁市，江苏省沭阳高级中学高二（302）班。