数形结合思想在高中数学教学的运用研究

摘 要：数形结合思想在高中数学教学中占据重要地位，其主要功能在于将抽象的数学问题用几何图形表示出来，以达到简化问题的目的，同时也可用数学问题解决复杂的几何问题。著名数学家华罗庚曾说过：数缺形时少直觉，形少数时难入微。可见，将两者方式结合才能更有效地解决问题。本文将阐述数形结合的含义，并对数形结合在高中数学教学中的应用进行探讨。

关键词：数形结合；几何问题；高中数学教学

数形结合思想可谓在数学界应用广泛，尤其是在高中的数学教学中，数形结合思想在解方程、函数、几何以及不等式关系问题中具有重要作用，而数形结合的重点在于“以形助数”，其目的是使问题简单化、具体化，从而能够优化解题步骤和途径。而如何在高中数学教学中合理应用数形结合思想，还需教师及相关人员对其进行深度分析和探讨。

一、 数形结合的概述及研究意义

数学重点在于数量关系和空间形式方面的知识点，数形结合是指在解决有关“数”的问题时，利用“形”来辅助。或者在解决“形”的相关问题时，结合“数”的关系来解决。为推行新课改，注重学生素质培养，使学生具备创新意识，并且能够学会利用创造力来解决问题，教育者应重视培养学生好的学习方法，在新时代的教育理念中，教育者不仅要重视学生的基本知识培养，还要对知识的总体框架有足够的了解，对知识概念、公式、公理、推理都应该理解到位。因此，研究数学思想是很有必要的。而在高中数学教学中，数形结合思想尤为重要，例如在高一集合知识点中，教师一般会利用韦恩图来向学生进一步解释集合的概念。还有很多内容都会利用数形结合思想来对其进行深度的理解和分析。

二、 数形结合在高中数学教学中的应用

（一） 数形结合与方程有关的应用

当前高中数学教学中有关方程方面的知识点是重点，教师在讲解这方面的知识时必定会利用数形结合的方式，特别是在解方程或求两个方程根的个数中应用广泛，一般是将方程的函数图象在平面直角坐标系中表示出来，然后通过图象的形状来判断方程的几何性质及交点个数，下面将举例说明。

例：已知，a∈（0，1），则方程a|x|=|logax|的实根个数为（ ）

A. 3个 B. 1个 C. 2个 D. A或B或C

解析：根据方程y=a|x|和方程y=|logax|在坐标轴上画出两方程的函数图象，然后看两函数图象的交点个数，交点个数即为方程a|x|=|logax|的实根个数。

上述例子可以很明显地发现利用数形结合思想来解决判断方程的根的问题有着简化解题步骤的作用，也不难发现，运用该方式是解决此类问题最有效直观的方法。

（二） 数形结合与不等式有关的应用

高中数学教学中包含不等式相关内容，且题型多变，较为复杂，但大多的不等式相关问题都可利用数形结合的方式来帮助解决，尤其是在解决不等式关系中参数的取值范围时，利用数形结合的解题方法能有效简化解题步骤和解题方式，下面将举例说明。

例：已知不等式2x-x2≥kx+k的解不为空集，其中k是常数，求k的取值范围。

解析：根据不等式2x-x2≥kx+k可以分别在平面直角坐标系上画出方程y=2x-x2和y=kx+k的函数图象，然后找到两图象只有一个交点时y=kx+k图象的临界位置，最后根据y=kx+k的两条极限位置图象找到特殊点，求出k值。k的取值范围也可确定。

由上述例子可以看出，数形结合与不等式结合的题目是现阶段命题的趋势，很多高考真题中都有类似的考题，因此，学生应该重视数形结合的解题方式，有时候运用复杂的思维方式来计算题目中的数量关系，不如利用图形来的简明直观。

（三） 数形结合与几何问题相关的应用

在高中数学教学中，几何的相关知识点不可忽视，高考中解析几何的分值也占比较多，高考出题者一般是将几何问题和函数、数列、向量等知识点结合起来，这样综合性的考题难度更大，更具挑战性。例如求椭圆、双曲线和抛物线相关的问题时，一般都采用数形结合的方式，只有少数概念性问题不用画图解决。数形结合思想在几何解析问题上有着重要的参与性，且不说较难的高考题目，就是平时的基础练习中也会常常运用到。

例：已知抛物线D：y2=4x，过点A（-1，0）的直线与抛物线交于M、N点，设AM=λAN，若点M关于x轴的对称点为P，试证明直线PN经过抛物线D的焦点F.

解析：需设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x1，-y2）

因为AM=λAN，x1+1=λ（x2+1），y1=λy2，接下来就需要将未知数代入式子中，然后在平面直角坐标系中把图画出来，能够比较直观地得到证明。

上述例子可以看出除了在数中运用形，也有在形中运用数，抛物线是形，解题应结合题中的数量关系。

（四） 数形结合与函数有关的应用

高中数学教科书乃至大学所学的高等数学中都将函数作为重点学习内容，可见函数在整个高中、大学阶段都有很重要的地位，高中重点讲解三角函数、二次函数以及函数的性质等，但难点在于函数的应用问题，由函数知识点为基础可以延伸出很多高难度的知识点，包括几何、不等式、方程的解等知识点，下面会举例说明。

例：已知函数f（x）=ax2-c满足-4≤f（1）≤-1和-1≤f（2）≤5，求f（3）的取值范围。

解析：根据题意将x=1、x=2和x=3分别代入到函数中，可以得到-4≤a-c≤-1、-1≤4a-c≤5和f（3）=9a-c，由-4≤a-c≤-1和-1≤4a-c≤5可以在平面直角坐标系上画出图象，得到平行四边形区域，而f（3）=9a-c也可在坐标系上以斜率为9的平行直线表示出来。剩下的可以看f（3）=9a-c的图象在平行四边形区域上找出来使f（3）值最大和最小的点，那么f（3）的取值范围即可确定。

函数应用题型较多且难度较大，大都需要根据函数图象来解题，这也是数形结合的一方面应用。

三、 结束语

通过本文对高中数学教学中数形结合思想的探讨，可以发现其实数形结合在整个高中数学教学中有着不可替代的作用，数形结合与方程、不等式、几何解析、函数以及本文还未展开阐述的集合问题都有广泛的应用，以形助数旨在解决由上述问题延伸而来的复杂问题，教师应通过对学生传授数形结合的思想，让学生能够独立运用所学知识来解决数学难题。只有努力培养学生数形结合思想，才能更有效地达到素质教育的目的。

参考文献：

[1]张艳.数形结合思想在高中数学教学中的应用研究[J].中國校外教育，2016（31）：55-55.

[2]董晓萍.高中数学教学中如何渗透数形结合思想[J].中学生数理化（学习研究），2013（5）：55-55.

作者简介：

韩其力木格，内蒙古自治区扎兰屯市，内蒙古扎兰屯市第一中学。