一道高考选择题的多种解法

魏艺铭

(北京工业大学附属中学 100022)

题目设x、y、z为正数，且2x=3y=5z，则( ).

A．2x<3y<5zB．5z<2x<3y

C．3y<5z<2xD．3y<2x<5z

综上，3y<2x<5z.

点评已知条件2x=3y=5z相当于三个等式，首先利用2x=3y去比较2x与3y的大小关系，这类指数问题经常转换为对数，因此将2x=3y两边取常用对数得到x与y的关系，比较大小常用比差法或比商法，根据式子的结构我们感觉更适合用比商法.然后再利用2x=5z，类似地得到了2x与5z大小关系,法1是此类问题的基本解法.

解法2 令2x=3y=5z=k,则x=log2k,y=log3k,z=log5k.

综上3y<2x<5z.

点评对于等式2x=3y=5z，常常令它们都等于k，用指对数的互化把x,y,z都用k表示出来，再用比商法，但在解题过程中为了消掉k，用到了换底公式.

点评解法3一开始与解法2一样，后面用了换底公式的推论把2x,3y,5z表示成了底数不同真数相同的对数，根据同一坐标系中不同对数函数之间图象的位置关系，只需比较三个底数之间的大小关系.这种统一很重要，为我们比较大小提供了一个切实可行的思路.

当x∈(e,+)时y′<0,函数单调递减.

点评前5种解法的共性是都转化成了对数，相比而言解法6把已知条件稍加变形，只用了指数函数的相关性质，可谓简单！漂亮！

y′=xx-2(1-lnx),当x∈(e,+)时y′<0,函数y=x1/x单调递减.

对于一道高考试题，应注重发挥其一题多解背景下的功能与价值，以期达到最小的投入，最大的产出，这样日积月累，同学们的解题意识和能力自然会得到提高.