f(x)=(x-b)|x-a|型函数性质

孙添耀

(浙江省宁波市五乡中学 315111)

首先研究函数f(x)=(x-b)|x-a|的对称性与单调性.为了研究方便，不妨固定参数b.且讨论a>b时，函数f(x)图象如右图1：

当a

接下来我们讨论a>b时函数f(x)在闭区间[0,m]上最值的问题.

不妨令b=1,m=4.求函数f(x)=(x-1)|x-a|(a>1)在区间[0,4]上的最值.

解设原函数为h(x)=(x-1)(x-a)(a>1)，

根据函数对称性作图2.

∴fmax(x)=f(4)=3|4-a|=3(a-4).

故综上可得，

一般函数f(x)=(x-b)|x-a|(a>b>0)图象如图4.

在区间[0,m]上的最值作如下总结：

此时fmin(x)=f(0)=-ab.

同样要分成三种情况：

∴fmax(x)=f(m)=(m-b)(a-m)

③当m>x00时，

∴fmax(x)=f(m)=(m-b)(m-a).

故综上可得，fmin(x)=-ab，