数学方法在物理平衡中的应用

王天炀 指导教师：李庆林

(山东省肥城市泰西中学 271600)

物体的平衡在物理学中有着广泛的应用，历年来高考中经常出现.在解决平衡问题时用到的数学知识很多，下面列举几例说明.

一、函数解析法

利用函数解析法解题，要求写出所求物理量的表达式，然后根据表达式分析求解.

例1 一盏电灯重为G，悬于天花板上A点在电线O处系一细绳OB，使电线OA与竖直方向的夹角为β=30°，如图1(a)所示，现保持β角不变，缓慢调整OB方向至OB线上拉力最小为止，此时OB与水平方向夹角α等于多少？OB绳中的最小拉力为多大？

解析在电线OA、OB、OC的拉力TA、TB、TC作用下，结点O处于平衡状态，电灯亦处于平衡状态.结点O受力图如图1(b)，根据三力平衡特点，任意两个力的合力一定与第三个力等值反向，故TA、TB的合力F=TC=G.根据正弦定理有：TB/sinβ=F/sin(90°+α-β)=G/sin(90°+α-β)，所以TB=Gsin/cos(β-α).

由此式可以看出，当sin(90°+α-β)=1,即α=β=30°时，TB最小，且TB=Gsinβ=G/2.

二、图象法

图象贯穿于整个高中物理学习中，它把抽象、隐含的物理问题还原成形象、直观的物理模型，利用图象可以将复杂的物理过程简捷化.

例2 如图2(a)所示，质量为m的球放在倾角为α的光滑斜面上，试分析档板AO与斜面间的倾角β多大时，AO所受压力最小？

解析根据牛顿第三定律，挡板对小球的压力等于小球对挡板的压力.故把小球作为研究对象.小球受到的重力产生两个作用效果，一是对斜面有挤压，一是对挡板有挤压，根据作用效果，将重力进行分解，其两个分力为F1、F2，如图2(b)所示.

重力和两个分力构成矢量三角形，如图.在这个三角形中重力大小、方向保持不变，F1的方向保持不变，随着F2的方向变化，其大小和F1的大小不断发生变化，但始终和重力构成三角形，故从变化的图中可以看出，F1不断变小，F2先变小后变大，当F1和F2垂直时，F2具有最小值.即β=90°时，挡板所受压力最小.且最小压力F2min=mgsinα.

三、三角形相似法

三角形相似法是找出边三角形和相应的力三角形，根据相似三角形的知识解决问题的一种方法.

例3 如图3(a)，空气中有两个带电小球A和B，B被长为l的绝缘细线悬于固定点O，且被绝缘支架固定于O点的正下方，与O点的距离也为l,与A球相距d1，由于漏电，过一段时间后，A的带电量变为原来的4/9，B的带电量变为原来的2/3，试求此时A、B两球间的距离.

带入上式得d1/d2=3/2

即d2=2d1/3

四、极限法

极限法是物理中常用的一种方法，一般情况下先写出所求物理量的表达式，再根据数学方法求极值，把比较隐蔽的临界现象挖掘出来.

例4 木箱重为G，与地面的动摩擦因素为μ，用斜向上的力F拉木箱使之沿水平地面匀速前进，如图4(a)，问角α为何值时拉力F最小，这个最小值是多少？

解析对木箱进行受力分析，重力G、支持力F1、拉力F、摩擦力F2如图4(b).根据平衡条件有：

水平方向：Fcosα=F2=μF1,

竖直方向：F1+Fsinα=G

由上两式得Fcosα+μFsinα=μG

F=μG/(μsinα+cosα)

令μ=tanβ

带入得F=Gtanβ/(tanβ+cosα)=Gsinβ/cos(β-α)

从以上例子可以看出，我们在物理教学和学习中，要打破学科之间的界限，加强学科之间的渗透，这样有利于培养学生综合运用知识的能力.