构造“基本不等式”适用背景的六种变换

蔡勇全

(四川省资阳市外国语实验学校 641300)

基本不等式是高中数学的重要内容，也是历年高考考查的热点，它的技巧性较强，体现在有些问题不能直接应用该结论求解，需要事先进行适当的恒等变换，构造出基本不等式的适用背景——“一正、二定、三相等”，即不仅表达式中含变量的项是正的，而且表达式中含变量的项的和取得最小值时，能凑出这些项的积为定值，或含变量的项的积取得最大值时，能凑出这些项的和为定值，还须此时含变量的项恰好相等，从这个角度来看，基本不等式也是教学中的难点之一.

一、常量逆代

二、加几减几

例2 已知正数a，b满足ab-a-b-1=0，求a+b的最小值.

变式1 已知正数x，y满足3x+2y=xy，求2x+3y的最小值.

三、升次拆幂(项)

变式3 已知正数x，y满足x2y=2，求x2+xy的最小值.

评注例3及其两个变式采取了不同的升次拆幂技巧，其中，例3采取的是升次策略，将目标式升次到可以运用基本不等式的背景下，变式1是将目标式直接拆幂到可以运用基本不等式的背景下，变式2则是先升次再拆幂到可以运用基本不等式的背景下，而变式3是将目标式拆项到可以运用基本不等式的背景下，需要注意的是，不论是只升次还是先升次再拆幂，都要回归到原目标式本身.

四、换元引参

例4 已知a，b，c为△ABC三边的长，求证:abc≥(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b).

五、取倒反推

评注当条件与目标式之间的关系不明显或较为模糊时，运用取倒反推不失为一种迂进的间接策略，有利于使问题明朗化，取倒反推实际上也是正难则反思想的应用，如果从问题的正面求解比较困难，从问题的反面入手往往会事半功倍.

六、配添分离