不等式选讲试题的解题策略和教学启示*

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(萧县中学，安徽 萧县 235200)

全国数学高考卷选做试题的设置始于2011年，文理同题.到2017年，选考模块删去了“几何证明选讲”，考生从“坐标系与参数方程”“不等式选讲”两个模块中任选一个作答，由原来的三选一，变为现在的二选一，进一步增强了“不等式选讲”的重要性.纵观近几年的全国数学高考卷不难发现，“不等式选讲”试题在命题特点和解题策略上都具有一定的规律性和经验性，看似难度不大，但也不乏灵活性和综合性.在备考训练和平常的教学中，对此块内容也应加强重视，特别是在当前以核心素养为主旋律的教学改革中，“如何将培养学生的能力、提升学生的核心素养落到实处”是一个值得探究的问题[1].笔者从“不等式选讲”本身出发来研究试题特点、解题策略和教学启示.

1 考点回顾

1.1 解不等式多以含1～2个绝对值的不等式为主

命题主要方向:一是直接解不等式；二是已知不等式的解集，反过来求参数的取值.此类题大多放在题目的第1)小题，重点考查学生的数学运算素养.

例1已知f(x)=|ax+1|(其中a∈R)，不等式f(x)≤3的解集为{x|-2≤x≤1}．

1)求a的值；

(2012年辽宁省数学高考试题第24题)

1)分析1由f(x)≤3得

|ax+1|≤3，

即

-4≤ax≤2.

作为一个解答题，不可直接写出结果，要有严格的解题过程，因此，需要进行分类讨论.也可通过以下思路进行解答：

分析2由条件知，x=-2和x=1为相应方程|ax+1|=3的两个根，代入可得

故a=2.

2)略.

本模块内容在高考中出现的解不等式问题，主要还是含两个绝对值符号的不等式.

例2已知函数f(x)=-x2+ax+4，g(x)=|x+1|+|x-1|.

1)当a=1时，求不等式f(x)≥g(x)的解集；

2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1]，求a的取值范围.

(2017年全国数学高考卷Ⅰ理科试题第23题)

分析11)不等式f(x)≥g(x)等价于

或

或

2)略.

此法采用的是零点分段讨论法，段内取交集，段间取并集，分界点处要做到“不重不漏”，格式上采取不等式组的结构形式，显得更为简单清晰.

1.2 不等式证明试题常采用综合法和分析法解决，多以基本不等式为载体

通过研究近几年的全国数学高考试题发现：不等式证明问题虽然难度不大，但是学生好像对不等式证明问题的把握并不大，主要原因是平时训练相对较少，教师和学生的重视度不高.命题方式多以基本不等式为载体，常常利用分析法和综合法进行解决，重点考查学生的逻辑推理素养.

例3设a,b,c均为正数，且a+b+c=1，证明：

(2013年全国数学高考卷Ⅱ理科试题第24题)

分析1)由a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca,得

a2+b2+c2≥ab+bc+ca.

由题设得

1=(a+b+c)2，

即

a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1,

从而

3(ab+bc+ca)≤1，

于是

即

1.3 含参类恒成立、存在性问题

含参绝对值不等式的恒成立、存在性问题是近年来高考的热点内容之一，此类问题常与不等式、函数图像与性质、方程的根等知识交汇命题，具有一定的综合性和灵活性，主要考查六大核心素养中的直观想象、逻辑推理和数学建模等基本素养.

例4已知函数f(x)=|x+a|+|x-2|.

1)当a=-3时，求不等式f(x)≥3的解集；

2)若f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围.

(2012年全国数学高考新课标卷第24题)

分析1)略.

2)不等式f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2]，即f(x)≤|x-4|在x∈[1,2]上恒成立，亦即对任意x∈[1,2]，都有

|x+a|≤|x-4|-|x-2|.

由于|x-4|-|x-2|≤2,从而

|x+a|≤2，

于是-2-x≤a≤2-x在x∈[1,2]上恒成立，故

-3≤a≤0.

无论是恒成立问题还是存在性问题，首先要弄清不等式中“哪个变量”在“什么范围”内恒成立或存在性成立，然后再求出相应的最值即可.在求解含绝对值的不等式的最值时，不得不提出一个极其重要的不等式——||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|，这个不等关系被称为绝对值三角不等式.对于这个不等式，不仅要在结构上非常熟悉，其等号成立的条件也应作深入探究.本例中，在求|x-4|-|x-2|的最大值时，可用此性质进行解决，即

|x-4|-|x-2|≤|(x-4)-(x-2)|=2，

1.4 不等式选讲试题的传统与创新

不等式选做试题的命制多以含绝对值的不等式和基本不等式为主流，但也常考常新，在内容的选取、命题方式和语言描述上出现了“多元化”的发展趋势，彰显灵活之气.如作图题、探索性问题、充要条件的证明题等等，甚至出现了对柯西不等式的考查与应用.

例5已知a,b,c,d为实数，且a2+b2=4，c2+d2=16，证明：ac+bd≤8.

(2017年江苏省数学高考试题第21题)

分析由柯西不等式可得

(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)，

因为a2+b2=4，c2+d2=16，所以

(ac+bd)2≤64，

故

ac+bd≤8.

近年来，在陕西、福建等省的数学高考试卷中，时常出现对柯西不等式的考查及运用，尽管全国卷中暂时还没有出现，但在实际教学中仍要引起足够的重视.教育部颁发的《2018年普通高等学校招生全国统一考试大纲》中明确要求：“要了解柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明.”其重要性由此可见一斑.

2 教学启示

2.1 解题教学仍要注重通性通法

通性通法是指具有某种规律性和普遍意义的常规解题模式和常用的解题方法.在解题教学中，“淡化特殊技巧，注重通性通法”的观点已经在大多数教师中达成共识.在这种观点的指导下，学生可以脱离题海战术，避免解题“乏力”“低效”“无方向性”等现象.例如，在数学解题中，有一个永恒不变的转化思想：

一个含有绝对值的函数解析式，往往需要转化为分段函数的结构形式.同样的道理，去绝对值也是解决含有绝对值不等式的通用转化策略.对于很多问题，若忽略了这种通性，则问题的解决将陷入困境.

例6已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+a|，g(a)=x+3.

1)当a=-2时，求不等式f(x)

(2013年全国数学高考卷Ⅰ理科试题第24题)

分析1)略.

f(x)=1+a，

从而不等式f(x)≤g(x)化为

1+a≤x+3,

即

例7已知f(x)=|x+1|-|ax-1|．

1)当a=1时，求不等式f(x)>1的解集；

2)若当x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立，求a的取值范围．

(2018年全国数学高考卷Ⅰ理科试题第23题)

对于第2)小题，在x∈(0,1)的情况下，可以直接将|x+1|中的绝对值符号去掉，继而转化为|ax-1|<1在x∈(0,1)内恒成立的简单问题.

2.2 细致、全面地讲解知识的产生和发展过程

知识的讲解应细致全面，不能急功近利，更不能只注重形式上的记忆和模仿训练，而忽略对知识本质的提炼.“学生的学习过程应是一个获得经验、思维投入的过程，是一个积极建构的过程”[2]，只有让学生充分经历知识的发生和发展过程，才能真正掌握知识的本质内涵，以不变应万变.

例如，绝对值三角不等式||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|是如何产生出来的，其产生的背景是什么，为什么要建立、推导这样一个不等关系,其工具性作用体现在什么地方,等号成立的条件又是什么……若单纯记忆，则无法解决上述问题，有时即使知道这个式子的存在，也想不到去运用.

2.3 注重提炼数学知识中所蕴涵的思想方法

数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，是解决数学问题最本真的方法，其蕴含在知识的发生、发展和应用的全过程中.教师应在具体的教学过程中引导学生主动地探索、发现、领悟、总结知识背后所蕴含的数学思想方法，这对于提高学生的思维、学习等能力是非常有利的.如在上述例2中，采取了分类讨论的思想方法，教师可以进一步引导学生探索能否利用数形结合的思想方法来进行解决，由此可得出新的方法如下：

分析21)将函数g(x)=|x+1|+|x-1|化简可得

当a=1时，作出函数图像可得f(x)≥g(x)的范围在点F和点G之间(如图1).联立

图1 图2

2)由f(x)≥g(x),知

-x2+ax+4≥2，

从而x2-2≤ax恒成立，根据图2可知函数y=ax必须在l1,l2之间，故-1≤a≤1.

以上解法不仅仅是单纯数形结合思想的应用，里面还含有函数与方程思想，即函数、方程和不等式问题间的互化，这是高考中着重考查的数学思想方法之一.本模块内容所蕴含的思想方法丰富，在教学中，不能认为数学思想属于高大上的内容就高高挂起，而应将其渗透到每一节课之中，融化进每一道题之中，使之成为解决问题的有力工具，并通过对数学思想方法应用，提升学生的直观想象、数学抽象和数学建模等学科素养.

3 结束语

核心素养不是纯粹的数学知识积累，从通俗的角度来看，是通过知识基础的学习后所形成的精华，是一种必备品格和关键能力.素养的培养与提升体现在教学活动的各个环节，包括课前的教学设计、课堂上的探究活动以及课后的解题训练和评价.通过以上对不等式选考内容的分析可知，过程性教学的展示以及教学中对思想方法的提炼是培养学生核心素养的必备要素.核心素养不是泛泛而谈的大话，也不是不着边际的空话，而应在每个环节中实实在在地去做.本模块内容在培养学生素养和能力方面还有许多需要探究的地方，希望我们一线教师能与时俱进，结合课程改革，改进教学方式，让数学的课堂变得更有价值.