从几何意义角度解决几类距离问题*

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(丽水中学,浙江 丽水 323000)

一份高质量的数学试卷往往都配有高质量的“小题”，这些小题很多时候都以简洁美呈现.教师在平时讲解过程中也一直强调要洞察题目的背景，但是学生实践起来却没有那么顺利.追其究竟，其实是学生没有看透问题的本质，被题目的外表所迷惑.本文从几何意义角度对距离问题的几种形式进行探究.学生在初中阶段学习过数轴上两个点的距离公式，高中阶段学习过两点间距离公式和点到直线的距离公式，这两类问题通过转化都可以用距离的几何意义去解决.正如法国数学家姬曼所说：代数不过是书写的几何，而几何不过是图形的代数.

1 类型呈现

类型1d=|x-x0|.

例1已知f(x)=|x+1|+2|x-a|的最小值是5，则实数a=______．

分析f(x)可以看成是数轴上一个动点到-1的距离和到a的距离的两倍之和.当x=a时，f(x)取到最小值|a+1|=5，故a=-6或a=4.

点评用数轴上点的距离去处理这个问题比分类讨论简单易懂，学生也容易掌握.

( )

分析|x-1|是圆x2+y2=4上一动点P(x,y)到定点(1,0)横坐标之间的距离，则

|x-1|≤|x|+1.

例2设x,y∈R，则(3-4y-cosx)2+(4+3y+sinx)2的最小值为______．

点评式子结构与两点间距离公式一致，只不过点都是在变化的，找到动点满足的轨迹分别是直线和圆，问题就转化为直线上的点与圆上点的距离最小值的平方，那么所求就是圆心到直线的距离减掉半径的平方.

( )

点评首先题目的条件有两个变量，结构是平方和，如果把平方乘开，处理起来比较麻烦.如果想到这个模型就是两个动点之间的距离，那么分别找到动点所满足的曲线方程，用数形结合去解题就可以化难为易.

图1 图2

变式2已知x,y均为非负实数，且x+y≤1，则4x2+4y2+(1-x-y)2的取值范围是______．

|OP|2=x2+y2+z2,

于是原问题转化为求|OP|的取值范围．显然|OP|≤1，且|OP|的最小值为O到平面ABC的距离.利用等积法计算：因为VO-ABC=VA-OBC，得

所以

即

点评将题目的条件和目标联系起来是双元不等式问题，通过不等式放缩或者柯西不等式可以得到答案，但处理起来比较麻烦.经过合理换元后目标式的结构就与空间距离一致，利用空间距离的几何意义就能很巧妙地解出了题目.

( )

航摄操作开始前，在主控计算机内输入所有相片曝光点位置以及航摄航线具体信息。航摄过程中，姿态测量系统的GPS接收机以2Hz的频率对双GPS天线做实时定位，同时，双GPS天线位置对飞机的偏航程度做出计算。姿态测量系统检测飞机位置已到达设计曝光点时，航摄控制器发出开启相机快门的指令从而控制航摄仪的曝光，同时完成相机曝光脉冲信号的写入操作，写入于定位GPS接收机时标上，以保证所有像片曝光的精度[2]。

由a>b，知a>-a-c,从而

同理可知

点评例3处理的办法比较多，可以用特殊值、均值代换、消元等，但是目标式的结构与点到直线的距离结构是一致的，难点在于条件中没有现成的直线.巧妇难为无米之炊，需要对条件式进行构造，构造出一条过定点的直线，这是本题的点睛之笔.

变式1已知实数a,b,c满足a2+b2≤c(其中0

分析设动点P(a,b)满足直线方程z=a+b，由a2+b2≤c(其中0

从而

点评题目本身没有显而易见的距离结构，条件与目标经过合理的代换就具备了距离的几何意义.借助几何意义实现了整体消元，过程简洁，化繁为简,体现了转化与化归思想在数学中的重要意义.

( )

图3

点评构造出点到直线的距离，借助数形结合思想，从图形直观上去破解问题，计算量小，过程简洁[1].

类型4d=|h(x)-g(x)|.

例4f(x)=|x2-ax-b|(其中x∈[-1,2])的最大值为M(a,b)，对任意a,b∈R，求M(a,b)的最小值.

图4

分析f(x)为h(x)=x2与g(x)=ax+b纵坐标之间的距离.因为a,b∈R，在直线旋转的过程中，发现M(a,b)的最小值取到的位置如图4所示：

1)联结两个端点(-1,1),(2,4),作直线l1:y=x+2；

图5

(2018年浙江省高中数学联赛试题第12题)

分析设h(x)=x2，g(x)=-ax-b,当g(x)分别经过点(0,0)，(1,1)时，-b分别为0和1+a，于是|1+a-0|≥2，得a≥1或a≤-3(如图7和图8)，经检验成立.

图7 图8

2 一点感悟

高中数学以“距离”为背景命制的小题有很多，有些一目了然，有些却隐藏得很深，我们需要练就火眼金睛去发现并解决那些深藏的距离问题.如果没发现距离的几何意义，解决此类问题就会遇到繁琐的运算.数学的解题离不开运算，但是数学的解题不止考查运算，他还是数学建模、逻辑推理、数形结合等思想的结合，多想一点题目命制的背景，以形助数，把握数形之间的内在联系，真正做到小题小做.