夏洪涛,刘 炎
(中国计量大学 理学院,浙江 杭州 310018)
用动力学方法来研究物种的发展规律,最早始于十八世纪。1798年,英国神父T.R.Malthus在他著作里第一次提出Malthus人口模型,得出人口会以指数无穷增长。在现代的种群动力学理论来看这个模型有很多缺陷,因为这个模型考虑的因素比较单一,但是在一定范围内,Malthus模型可以很好的预测种群增长规律,比如18世纪的澳大利亚的由于缺少天敌,食物充足发生的兔灾,可以用Malthus模型得到比较正确的预测结果。
Verhulst(1838-1845)改进了Malthus模型提出了logistic方程,这个模型考虑了环境的最大生物容纳量,种群的增长速率和环境的最大容纳量有关。logistic模型的前期基本符合模型的Malthus模型增长规律,但是到了后期,由于环境中资源是有限的以及自身的密度制约,种群的自然增长率自然放缓直至种群数量进入平衡状态,这样一个种群必然存在最大增长率。由于这个原因,现代,这个模型在研究农业、畜牧业、渔业最大可持续产量有着广泛应用。虽然logistic模型解决了Malthus模型的一些缺陷,但是这两个模型均没有考虑种群中个体对种群的影响。
在1926年,内科医生McKendrick首次将年龄结构引进单种群动力学模型,McKendrick模型是将关于种群总数(或密度)的函数用时间和年龄两个变量来刻画。结构化的模型相对于上述两个模型,可以将种群中的个体与种群结合起来,可以考虑很多上述两个模型不能很好解释的问题,比如在考虑人口增长问题时当人口中男女比例失衡、人口老龄化严重的问题时,采用年龄结构模型可以更好的预测人口数量发展趋势。基于McKendrick研究的年龄结构模型在过去30年中得到了广泛的研究[1?8]。
传统的年龄结构种群模型研究工作对于出生率和死亡率主要取决于年龄和时间,但是在许多生物种群中可以观察到年龄高的个体对同一物种的生存率的影响在自然界中广泛存在[9],虽然分层结构模型可以很好地模拟大多数生物物种,但是由于生物的出生率和死亡率是高阶非线性的,处理分层结构模型是具有挑战性的工作。Cushing研究了一个等级年龄结构的生物种群的长期行为[10]。Henson和Cushing引入了层次化的年龄结构模型研究竞争对人口演变的影响[11]。Gurney和Nisbet建立了捕食者捕食模型,其中捕食者是一个等级年龄结构。他们分析了模型通过随机方法得出结论,等级差异更有利于生物群体的稳定性[12]。Calsina和Saldan通过建立具有分布式出生状态和分层结构的PDE模型,提出了等级年龄结构模型的一类解决方案[13]。最近,何泽荣研究了等级年龄结构模型的解的存在唯一性并进行了近似解的收敛性分析解决方法[14]。本文主要研究等级年龄结构模型的解存在性和唯一性,以及平衡态的存在性、稳定性。本文结构如下:第1部分给出了等级年龄结构模型的基本假设以及解的存在唯一性,第2部分给出了平衡态的存在性以及稳定性的条件,最后对本文的工作做了简要总结。
如果出生模和死亡模函数不仅与个体年龄和时间有关,而且与同一种群内其他个体有关系,这样的模型可以描述为
(1)
1)死亡率μ(a,E(p)(a,t))≥0且μ在(0,A)×(0,T]上有界。此外,μE存在且満足lipschitz条件和0≤μE<+∞;
3)p0(a)非负有界。
对于模型(1)的解,如果p(a,t)∈L∞((0,A)×(0,T])且于任意t∈(0,T]以及任意ξ∈C1(Qt)有
(2)
则称p(a,t)为模型(1)的形式解。
为了研究解的性质,先定义模型(1)的上下解。
3)于任意t∈(0,T]以及非负ξ∈C1(Qt),有以下成立
(3)
(4)
运用上述定义,我们可以建立以下比较原则。
(5)
由(3)(4)式及微分中值定理可得
(6)
(7)
考虑如下问题:
ζs+ζa=0, 0 (8) ζτ+ζa=0, 0 ζ(a,τ)=X(a), 0 (9) 由(9)式可知在Qt上恒有0≤ζ(a,t)≤1,此外注意到 (10) 其中w+为w的正则函数。 将上述结果代入(7)式 综上所述,可得 (11) 在a∈(0,A)上,令函数X(a)如下: 利用(11)式可得 再运用Gronwall不等式,对任意t∈(0,T]都有 定理1.1证明完毕。 接下来证明解的唯一性。 定理1.2若假设1)~3)成立,则模型(1)至多有一个解。 证明设p1,p2分别是模型(1)的两个解,令p=p1-p2,由(2)式及微分中值定理可得 (12) 这里ηi介于E(p1)(a,s)和E(p2)(a,s)之间(i=1,2),选取ξ∈C1(Qt)满足 ξs+ξa=0, 0 ξ(A,s)=0, 0 (13)