浅谈随机变量的几种数字特征及其应用

李泓想

摘要：本文主要以离散型随机变量为例，介绍了随机变量几种常见的数字特征，并简单推导了他们之间的关系;本文在第二部分主要介绍了随机变量数字特征在现代金融学理论的应用，简单介绍了分散投资可以降低投资风险的事实。

关键词：数学期望;方差;协方差;相关系数;投资组合

一、随机变量几种数字特征及其关系

随机变量常见的数字特征主要有数学期望、方差、相关系数和协方差等，本文以离散型随机变量为例简单介绍几种常见的随机变量数字特征。

（一）数学期望

关于一般离散型随机变量数学期望定义为，假设X为一般离散型随机变量，它的取值为x1， x2， x3， …对应的概率分别为p1， p2， p3， …如果∑ k=1∞  xk pk，∑ k=1∞  |xk| pk两个无穷求和分别为有限数，则称

为随机变量X的数学期望，记作E（X）.

数学期望有一个常用的性质是其线性性质，对任意常数ck，k=1， 2， …， n及b，有

关于数学期望还有一个著名的公式，是关于随机变量函数的数学期望，也被称为佚名统计学公式，

若函数f （x）为连续函数，若离散型随机变量X的可能取值为x1， x2， x3， …，对应的概率分别为p1， p2， p3， …，令随机变量Y为随机变量X的函数，即Y= f （X），那么随机变量Y的数学期望为，

（二）方差、协方差和相关系数

首先关于方差，其定义也是由数学期望的计算给出定义，若关于随机变量X函数（X-E（X））2的数学期望存在，我们称（X-E（X））2的数学期望为随机变量X的方差，记为D（X），即

并称为随机变量X的标准差。

关于方差的计算，可以由数学期望的线性性质给出，

关于随机变量线性函数的方差有如下性质，对任意的常数a，b

下面给出随机变量的协方差和相关系数。关于n个随机变量X1，X2，…，Xn，称

为随机变量Xi， Xj（i， j=1， 2， …， n）的协方差。

关于协方差的计算我们有，

显然，

随机变量和的方差的展开计算最终会归于两两随机变量的协方差的计算，下面我们给出该关系式，

协方差也有线性性质，对任意的常数a， b， c， d及随机变量Xi， Xj（i， j=1， 2， …， n）

随机变量的相关系数定义由随机变量的协方差给出，对于随机变量Xi， Xj（i， j=1， 2， …， n），称

为随机变量Xi， Xj的相关系数，当然这里要求D（Xj），D（Xj）不为零。

二、随机变量数字特征在现代金融学中的应用

在投资学理论中，我们常常用数学期望表示收益，用方差表示风险。

著名金融学家马科维兹在上个世纪50年代引进的均值-方差模型是现代证券组合理论的基石。在马科维兹的均值-方差理论中，假设有n个证券可以投资，并把每个证券的收益率看成是随机变量，通常记为r1，r2，…，rn，记其数学期望为 记其方差为 并以ρij记随机变量ri，rj的相关系数。在经济学中一个很自然的假设：投资者都是追求高收益并且规避风险的，也即希望有较大的数学期望和较小的方差。但是在证券市场中往往有高收益的证券常伴随着高风险。一个有效的办法是采用证券的组合，即把全部资金分散投资于各种证券，假定一个投资组合P投资于n种证券的资金比例分别是ω1， ω2， …， ωn，则证券的总收益为，

显然，其平均收益为

由随机变量和的方差和协方差关系可求得其方差（风险）为，

一般情况下，σP2要远小于σi2，例如我们取等权重投资，即，i=1， 2， …， n.则  在比较理想的情况下，若组合中大部分证券之间弱相关或者不相关，即 那么  将接近于，因此分散化投资确实能降低投资风险，这就是我们在投资中经常所说的，不要把所有鸡蛋放在同一个篮子中。

进一步的在经典投资学理论中我们还可以继续讨论寻找最优的证券组合的问题。一个比较简单的提法就是，寻求最优的投资比例ω1， ω2， …， ωn，使得投资组合的数学期望  等于目标值，而让其风险  达到最小。

三、小节

隨机变量的数字特征在很多不同的领域都有很重要的应用，本文所提到的投资组合理论只是随机变量数字特征的一个简单应用。本文也只是以离散型随机变量为例简单介绍了随机变量数字特征之间的关系，这些关系在连续型的随机变量中也是成立的。

参考文献：

[1]李贤平.概率论基础（第二版）[M].高等教育出版社，1997.

[2]李善民，徐沛.Markowitz投资组合理论模型应用研究[J].经济科学，2000 （1）：42-51.