泊松分布与复合泊松分布的性质

于子涵

摘要：本文主要讲述了泊松分布和复合泊松分布的各种性质。本文在第一部分主要讲述了泊松分布和二项分布的关系以及泊松分布的数学期望和方差的计算;在第二部分推导了复合泊松分布的概率分布及其数字特征，并阐述了复合泊松分布在非寿险精算中的应用。

关键词：二项分布;泊松分布;复合泊松分布;全概率公式

一、泊松分布

（一）二项分布的极限情形为泊松分布

设随机变量序列，并且随机变量，即

若假设 ，则有

下面给出证明。

记

對于固定的k有，

因此，

若随机变量X的可能取值为所有非负整数，并且

则我们称随机变量X服从参数为λ的泊松分布，记作X～P（λ）.

随机变量所有可能取值之和必定为1，关于泊松分布的所有可能取值之和我们有，

（二）泊松分布的含义

泊松分布是计数分布的一种，通常用来描述单位时间内事件发生的次数，比如可以用来描述某银行柜台某时间段内来办业务的顾客数。

（三）泊松分布的数学期望和方差

泊松分布的数学期望和方差都是λ，下面给出证明，

为计算泊松分布的方差，首先给出一般随机变量的方差计算公式，

利用上述方差计算公式，我们可以给出泊松分布的方差，

二、复合泊松分布

（一）复合泊松分布的定义

称随机变量 为参数为λ复合泊松分布，若满足，

（1）X1，X2，…，N独立的;（2）X1，X2，…是同分布的;（3）N～P（λ）.

复合泊松分布在保险中是常用的概率分布，随机变量N可看成 N 个保险保单组合，Xi（i=1，2，…）是第i个保单可能的索赔额，则S是这N个保单组合的总索赔额。因此探讨S的概率分布及数学期望和方差对保险公司来说有着重要的意义。

（二）复合泊松分布概率分布的算法

复合泊松分布的概率分布的计算需要用到全概率公式，下面叙述该公式。

设事件A1， A2， …， An， …是样本空间Ω的一个分割，亦称为完备事件组，即Ai（i=1， 2， …， n， …）两两互不相交，而且

假设样本空间中有另外一个事件B，这样一来

这样我们可以得到全概率公式，

由全概率公式，复合泊松分布的概率分布可以写成，

的计算需要用到卷积公式，这里可以举个例子说明这个公式的计算。假设随机变量ξ1～B（n1，p），ξ2～B（n2，p），并且互相独立，我们可以给出ξ=ξ1+ξ2的概率分布。首先ξ的可能取值为0，1，2，…，n1+n2.

其实我们发现ξ～B（n1+n2，p），该结论很容易推广到多个独立二项分布和的情形。

在复合泊松分布中若假设Xi～B（1， p）（i=1， 2， …），即在保险中每次索赔额要么是1，要么是0.这种假设下，的可能取值非负整数值，其概率分布为，

也即在该特殊情形下，S～P（λp）.

（三）复合泊松分布的数学期望

复合泊松分布的数学期望要用到全期望公式，首先介绍一下该公式，对任意的随机变量X，Y，我们有

由全期望公式，我们可以给出复合泊松分布的数学期望，

在保险中，复合泊松分布的数学期望意义也很清晰，E（N）表示保单组合的平均个数，E（X1）表示每个保单赔付的平均额，所以总的索赔额为E（N）E（X1）.

在复合泊松分布中若假设Xi～B（1， p）（i=1， 2， …），该种特殊情形下，其数学期望为E（S）=λp，方差为D（S）=λp.

三、小节

复合泊松分布在非寿险精算中有着非常重要的意义，在非寿险精算中，我们往往假设保险公司的总索赔额度服从复合泊松分布，因此对复合泊松分布的研究显得非常重要，包括对复合泊松分布的概率分布及其数字特征的研究。

参考文献：

[1]李贤平.概率论基础（第二版）[M].高等教育出版社，1997.

[2]唐玲，徐怀.复合泊松分布和泊松过程的可加性[J].安徽建筑大学学报，2007，15 （5）：80-81.

[3]田国华.高校经典教材同步辅导 数学分析 华东师大第三版 上册[M].人民日报出版社，2004.