让学生的数学学习发生在思维的过程中——基于多元变量问题的教学研究

☉广东省惠州大亚湾经济技术开发区大亚湾第一中学 邓淑花

这些年的数学教学生涯，让笔者领悟到一个数学教学的真理——在数学课堂中，要让学生的数学学习发生在思维的过程中，才能让学生得到真正的发展.这就需要我们教师在教学的过程中遵循“让学生有学习的空间，引导学生转动思维的链条.”文章以笔者最近一节主题为“多元变量问题”的高三复习课为例，叙述如何让学生的数学学习发生在思维的过程中.

例题（2017年亭湖高级中学试题）已知实数x，y满足x2+2xy-1=0，则x2+y2的最小值是多少？

师：你们觉得这个问题的意图是什么呢？（引导学生明确思考的方向——最值问题）

生：考查最值问题.（整齐的回答，表明大部分学生能够捕捉到考查的内容）

师：对于最值问题的考查，大家能够联系到的知识点有哪些呢？（处理最值问题的方法有很多种，而且是学生处在不同阶段学习的，故而这样的提问给予了学生思考的空间，让学生把前后知识联系起来，从而产生知识体系）

生：函数的方法、不等式、导数、线性规划……（学生间歇性的表达，表明学生虽然掌握了一些求最值的方法，但还未能够将它们真正地串联起来形成知识体系）

师：在高中阶段，我们所学的函数均是一元函数，因此若要用函数来解决本题我们首先要做什么工作呢？（意在引导学生生成降低元个数与建构函数之间的因果联系）

生：题目中含有两个未知数，如果能够把两个变成一个就好了.（学生朴素的语言表明虽有降元的直觉，但却未能形成这样的解题意识）

师：说得不错，如果两个未知数变成一个，那么这个表达式就可以看成是某个未知数的函数了，同学们回忆一下我们通常是如何将多个未知数变成一个的呢？（引导学生向常见的降低元个数的方法——消元或换元上思考）

生甲：老师，我们可以用x来表示y或者用y来表示x，然后代入即可表示成只关于x或y的函数.（显然学生已经有消元的意识，但还是不能将这种思想明确地表达为消元思想）

师：很好，乙同学利用导数研究了函数的单调性，并利用单调性求出函数的最值，我们不妨就记作方法一.请大家再观察一下所求表达式，大家还能有什么样的发现呢？（让学生观察表达式的结构，引导学生向基本不等式方向去思考）

噢……（一声惊叹，有学生似乎明白了什么）

生丙：这个表达式的结构能够满足基本不等式的构成要件（一正，二定，三相等），而且由于积为定值，所以和有最小值.所以

生：首先，我们用x来表示y，将表达式中的两个未知数转变成一个未知数，然后可以从函数的角度用导数的思想求最值，也可以从基本不等式的角度来求最值.（学生能够归纳成这样已基本形成了这种意识，但仍然需要将这种朦胧的意识转化成明确的知识）

师：很好，我们观察到条件与所求结论均是二元，从数学的通性通法角度来考虑，在处理多元问题时我们通常是利用消元的方法将两个元消成一个元，从而转化为一元函数的问题，然后考虑求函数值域的方法来求最值，又或者倘若表达式结构已满足基本不等式的条件，可以利用基本不等式来快速解决问题.

师：我们一起回顾一下三角函数中的经典例题“已知tanα=2，求sin2α+2sinαcosα的值”，你的处理方式是什么？（回忆经典例题，让学生的思维对相似的问题情境产生知识迁移）

生：这样的式子我们称作齐次表达式，将表达式除以1再用sin2α+cos2α=1来进行“1”的代换，分子分母同时除以cos2α来构造tanα.

师：联系这个例子，对于本题大家有什么新的想法吗？（引导学生去建构齐次表达式，利用整体思想进行换元求解）

……（学生低头不语，显然思维还不能进行知识迁移，当然可能是引导的步子跨得太大）

师：条件是x2+2xy=1，而待求的问题是x2+y2，这与三角函数中的例题结构相似吗？（改变条件的形式，让学生能直观地感受到两者在本质上是相同的，从而能够将方法进行迁移）

生：条件与结论都是齐二次的表达式，而x2+2xy=1，所以我们可用“1”的代换，将原表达式同时除以1，即由方法一可知x≠0，所以分子分母同时除以x2化简后可得

师：很好，但大家觉得这样的解法存在问题吗？（为增加学生数学思维的严密性而进行的提问）

生：t的取值范围不定，不能用基本不等式.

师：那t的取值是什么呢？（非选择性的问题，暗示着学生需要思考的方向）

……（学生沉默，表明这一步引导还需要再分成几个部分）

师：我们不妨看一看t由何而来.（进一步缩小引导的步子，让学生的思维有个支点）

生：t是由x2+2xy除x2得到.（大多数学生都可以意识到这一点，但他们的思维需要更进一步的提升）

生丙：哦，x2+2xy=1，所以t的本质是，是大于0的，所以基本不等式的运用是对的.

师：很好，方法三本质上是基本不等式的一种常见的类型，即形如（a，d≠0）的表达式可以用基本不等式来解决，本题的难点其实在于用“1”的代换去构造这样的形式.

师：所以对于能够因式分解的代数式，可将等式因式分解后采用双换元的方法将待求的二次表达式变成换元后的二次表达式，然后再结合基本不等式来处理.那么本题是否也可依此而做呢？

……（学生进行讨论）

生：x2+2xy=1⇒x（x+2y）=1，不妨令x=m，x+2y=n，其中mn=1，用m，n表示x，y，代入待求的表达式中得x2+y2=

师：通过这道题目的四种不同解法，大家对于多元最值问题的处理有什么感悟吗？

……（学生再次讨论）

生：对于多元问题处理的主导思想应当是以题设所给的等量关系或以已知定理、公理为桥梁，用消元或换元为手段，将多个元的问题转变成一个元的问题，然后再考虑用函数或基本不等式等方法来求最值.

师：解题过程中有什么需要注意的吗？（意在拨动学生思维，让其考虑新元的取值范围）

……（学生再次讨论）

生：在减少元个数的过程中一定要特别注意新元的取值范围的问题.

教学反思：在现实的教学过程中教师常报怨学生的思维太差，学不了数学.其实笔者觉得并不是学生学不了数学，而是我们的教师未能转动学生的思维链条，激发他们不断地思考.学生的数学学习往往不是一下子便能直击关键，他们的思维需要被一步步的引向问题的核心.因此在教学过程中，数学教师应当给予学生思考的空间，设法让学生的数学学习发生在思维过程中，这样才能让学生的数学学习真正发生.