函数隐零点问题解题方法分析

郑州外国语学校 王子菡

一、引言

笔者在解答有关函数的导数问题时，经常会遇到函数的零点问题。所谓函数零点是指对于函数f(x),把能使f(x)=0的实数x叫做y=f(x)的零点。对导函数的零点进行研究是解决函数单调性、最值性、不等式证明等问题的关键。如果导函数的零点可以方便求出，这类零点称为显零点，如果导函数零点能判断其存在，数值上却不易求出或求不出，则称为隐零点。显零点问题比较容易解决，故在此不再赘述。而在解决隐零点问题的时候则会遇到一些困难。因为解决这类“隐零点”问题，经常需要解题者有灵活的代数变形技巧、抽象缜密的逻辑判断能力和巧妙应用不等式的能力。这就要求解题者应具有较高的综合分析能力。实际上，从问题目标来看，若要研究零点，可对零点采取一些特殊方法进行处理。笔者在做题过程中对这类问题进行了较多的思考和归纳总结，也有一些心得体会。现通过几个实例，初步探究解决“隐零点”问题的处理策略和技巧，供读者参考。

二、方法探讨

1.二次求导法

有些函数的导函数可能是一个超越函数，不能直接求出其零点。我们可以对其导函数求导（原函数的二次导数），得到一个形式更简单的普通函数，此时就可方便地求出零点；或者通过研究二次求导后的函数的符号变化，判断一次导数是恒正或恒负,进而可以研究原函数的单调性。

例1：已知函数f(x) = ( 2 +x+ax2)ln(1 +x) -2x，若a=0，证明：当-1 ＜x＜0，f(x) ＜ 0；当x＞0时f(x) ＞ 0。（2018年全国(III卷)高考数学(理)试题，21题）

证明：当a=0时，函数f(x) = ( 2 +x) ln(1 +x) -2x，

显然这是一个超越函数，不能求其零点，也很难判断其符号，故需对其再求导。

这是一个普通函数，很容易判断其符号，下面根据其二次导函数正、负判断一次导函数的单调性：

当x＞0时f′ (x) ＞ 0，f′(x)，单调递增；当-1 ＜x＜0时f′ (x) ＜ 0，f′(x)单调递减。所以f′(x)在x=0处取得最小值，且f′(x)min=f′(0) = 0，即f′(x) ≥ 0，也即f(x)在区间（-1，+∞）为增函数。故当-1 ＜x＜0时，f(x) ＜f( 0) = 0；当x＞0时，f(x) ＞f( 0) = 0。得证。

2.恒等变形法

对原函数进行一些巧妙等价变形，使对数函数、指数函数等这些超越函数与其它函数相分离，以达到变隐为显的目的。

例2 ：同例1

证明：因为1+x＞0所以2+x＞0

所以g(x)在区间（-1，+∞）为增函数，故当-1 ＜x＜0时，g(x) ＜g( 0) = 0，又2+x＞0，所以此时f(x) ＜ 0。当x＞0时，g(x) ＞g( 0) = 0，又2+x＞0，所以此时f(x) ＞ 0。

得证。

小结：在上例中由于存在着对数函数和一次函数乘积的情况，故其导函数的零点不易求出（见例1）。仔细分析题目后，可将x+2提出，这样就把对数函数单独分离出来，从而有利于解决其导函数的零点问题。

3.虚设零点法

在求解一些些导数压轴题时，往往会遇到导函数具有零点但求解相对比较繁杂甚至无法求解的情形。这时，可以将零点只设出而不直接求出来，然后谋求一种整体的转换和过渡，再结合其他条件，从而最终获得问题的解决.我们称这种解题方法为“虚设零点”法。

例3 已知函数f(x) =x2-x-xl nx，且f(x) ＞ 0，求证：f(x)存在唯一极大值点x0,且e-2＜f(x0) ＜ 2-2(2017全国卷2（理）

证明：

所以

小结：本题实质上是求函数f(x)的最大值。但f′(x)却是一个超越方程，不易求出其零点。这时可以将导函数的零点x0设出，利用零点的定义，得出2x0-2 - l nx0=0,然后用此关系式替代最值表达式中的lnx0，得到普通关系式通过此代换，方便地将一个超越关系式转换为一个普通的二次代数式，最后研究二次代数式极值，问题便得到解决。

4.放缩法

放缩法是证明不等式成立的一种常见方法。通过使用此方法，可以将复杂的不等式变成简单、明了、易于证明的不等式。在用导函数证明不等式时往往利用放缩的方法将指数函数、对数函数等超越函数替代为一般函数，以达到变隐为显的目的。放缩法中常用到的公式有：

由ex≥x+1（x∈R） 可 得ex-1≥x则（提出ex，利用其切线进行放缩，使超越方程问题转化为常规问题）

设g(x) =xel nx，(构造新函数)故g(x)在上单调递减；在（，+∞）上单调递增。所以（利用导数结题步骤，求函数最值）

故f(x) ＞g(x)min+ 2 = 1， 得证

小结：

由上例可知：用放缩法解决隐零点问题的一般步骤为

（1）对原函数进行恰当变形，利用切线对其进行放缩。

（2）构造新函数

（3）求新函数的极值（最值）

（4）得出结论

5.变换主元法

在解答多参数问题时，如果按照常规方法，视原变量x为主元，其导函数有可能出现隐零点，问题x很难解决。这时可视另一个参数为“主元”，而原变量 暂时视为参数，这种用变换主元去分析、研究、解决问题的方法叫变换主元法.函数与不等式有着千丝万缕的联系，某些函数经过变换主元后，其导函数的零点就非常明显，据此可方便地判断函数的单调性，进而求出其极值，从而使证明变得简明.兹举一例加以说明。

三、结论

一般而言，当函数的一次导数零点不可求而二次导数零点可求时，可用二次求导法；当一个超越函数易分解成为两个普通函数乘积且其中之一易判断其符号时可用恒等变形法；当易判断一个函数的导函数存在零点且知其变化范围时可用虚设零点法；无法用恒等变形法解决的问题可尝试用放缩法；当变换主元后函数导函数零点易求可使用变换主元法求解。

需要指出的是，函数隐零点问题涉及的知识面广，技巧性大，要求的运算能力强，命题形式变化多样。故读者应结合具体题目仔细分析，反复斟酌，然后选择合适的解题方法。