借助反例教学，提升数学素养

☉江苏省苏州工业园区第八中学 陆 燕

反例，简单地说，就是与命题相反的例子.在初中数学教学中选择反例教学法，目的就是引导学生准确把握命题中的条件，了解条件的适用范围，并就此形成更深刻的认知，既有助于推动教学工作的顺利开展，同时可以保障高效的学习效果.反例教学的方式，既有助于突破学生的思维定式，同时在提升学生思维能力方面，也具有极大的裨益.所以为了使学生获得更大的进步，教师可在初中数学教学实践中巧妙引入反例教学法，以促进学生对数学知识的高效掌握.

一、借助反例教学，深入理解数学概念

在学习数学知识的过程中，概念是基础和关键所在.小学数学学习过程中所涉及的概念大都比较直观，更贴近学生生活，但是步入初中阶段之后，概念教学逐步转向抽象，同时具有逻辑性特质，因此在学习概念的过程中，比较容易出现片面理解或错误认知，如果教师仅仅依靠正面例子引导学生自主纠错，往往难以保障更深层面的理解和认知，此时教师可以巧妙地引入反例，必然有助于消除学生的疑惑，还能够从侧面帮助学生紧抓概念本质，有效弥补正面例子的不足，使学生对概念产生更深层面的理解，既要弄清“是什么”，还要了解“不是什么”.［1］

1.借助反例进行概念辨析

在初中数学教学中，教师要善于借助反例引导学生进行概念辨析，以此促进他们对数学概念的深刻理解.

例如，在教学“有理数”这一概念的过程中，教师可以结合以下练习：“请在下列数中找出所有的有理数：-2，|13|，0.56，1.1010010001……（1和1之间每次增加一个0），|π|”，并以此为突破口引入概念教学，学生们很有可能就此认为1.1010010001……（1和1之间每次增加一个0）和|π|，都为有理数.鉴于此，教师可引导学生着重分析有理数的概念及其内涵，特别是其中所包含的分数，因此，对于有理数而言，不但包括整数和有限小数，除此之外，还包括无限循环小数，这也就意味着，这两组数字虽然是无限小数，但是它们并非循环小数，所以不可将其判定为有理数.

2.借助反例纠正错误理解

初中生对于一些数学概念会存在错误理解，教师在教学中要善于借助反例帮助学生对错误的概念理解进行纠正.［2］

例如，在学习“函数”概念时，学生会产生这样的想法：只要其中一个变量会因为另一个变量而发生改变就是函数.鉴于此，教师可引入如下反例引导学生展开思考.对于以下变量关系，哪些说法是正确的：①若|y|=x，则y是x的函数；②若y=2|x|（x≥0），则y是x的函数；③通过水管的水流速度与水管的长度呈函数关系.经过学生的简单思考之后，教师给出正确答案为②.之后展开解题，对于说法①，假如x=5，|y|=5，y=±5，对于这一函数关系来说，当给定x的值之后，对于y而言，有两个值与它相对应，所以是错误的.说法③：对于水管中的水流速度来说，并不会因为水管的长度而受到任何影响，这也就意味着它们之间并不存在函数关系.可见，通过恰当的反例，能够帮助学生更深入、更透彻地把握所要学习的概念和知识点.

二、借助反例教学，准确把握数学定理

数学定理的存在也需要限定在一定的范围内.在初中阶段，数学定理及推论同样具备明确的应用范围，这也是学生容易忽视的关键点，由此导致错误的出现.教师需要结合反例展开教学，使学生聚焦于定理及推论的适用范围并加大重视.

1.借助反例教学，明确定理条件

一些数学定理是需要判定条件的，这些判定条件容易被学生忽视，借助反例教学能够让学生对这些定理的条件更加明确.

以“一元二次方程的实数根判别式”的教学为例，假使一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有实数根，则判定条件Δ=b2-4ac≥0；如果方程具备两个不同的实数根，则Δ＞0.对于此题来说，必须要关注a≠0这一条件，一旦忽视，就可能出现错误.可结合以下反例进行教学：如果方程tx2-3x+2=0具备两个实数根，求t的取值范围.有部分学生得出Δ=（-3）2-4×2×t＞0，由此，求得，很显然，这个答案并不正确.因为当t等于0时，此方程只具备一个实数根，所以，针对此题的正确答案应当是且t≠0.通过这一习题，学生必然能够对判别式中a≠0这一限定条件产生更深层面的认知.

2.借助反例教学，明确定理范围

一些数学定理是具有一定的适用范围的，借助反例教学，能够让学生对数学定理的适用范围更加明确化.

例如，在教学韦达定理时，涉及方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个实数根与方程中系数的关系因为这一定理常被用于求两个根所组成的关系式的值，这是一种有效且便捷的解题方式，但同时韦达定理也具备相应的适用范围.其一，方程有两个不等的实根，其二，函数和x轴有公共点.然而在实际使用韦达定理进行解题的过程中，学生经常会忽视这一使用范围.为了强化学生的注意，教师可以引入相应的反例：如果方程x2-的两根为x1和x2，求的取值范围.有学生就作出如下解答很显然，这并非正确答案，如果将终点值19代入其中，得到-k2-10k-6=19，由此得解k=-5，然后将k值代入方程中，会将方程变为x2+7x+15=0.而Δ=72-4×15=-11＜0，说明并不存在实数根，这点很显然违背了题意.学生出错的根源在于没有考虑到方程的实数根，也就是忽视了韦达定理的适用范围.针对此题，必须要明确附加条件（k-2）2-4（k2+3k+5）＞0.反例教学在初中数学教学中的应用，能够使学生对概念及定理的具体限定范围产生更深层面的认知，并加大关注，所以教师应善于灵活利用反例，这样有助于提高教学的实效性.

三、借助反例教学，有效培养数学思维

在初中数学教学中，培养学生的数学思维能力是重要的教学目标之一.反例是培养学生数学思维的有效素材.反例的运用有助于促进学生的思维发展，因为在步入初中之后，单纯的知识教学在促进学生能力提升方面的作用有限，必须加强反思能力及发散思维能力方面的培养，才有助于真正提升学习实效.传统教学模式下，学生大都以被动的方式接受教师所教的内容，这样的过程很有可能忽略其中的关键知识点.在完成基础知识的学习之后，教师可结合反例的方式，引导学生立足于不同的视角思考相同的问题，这样学生必然能够在这一过程中，了解到知识的多样性，这也是对思维的有效锻炼，能够帮助学生养成良好的学习习惯，使学生了解对于任何问题而言，都要立足于不同的视角去考虑.［3］

例如，在完成几何知识的学习之后，很多学生都对多边形具备了一定的了解，在此基础上可引发学生思考：多边形本身具备怎样的特点？正多边形又具备怎样的特点？很多学生都能够基于所学得出正确的解答.为了引发学生更深层面的思考，我提出如下问题：对于一个多边形来说，如果每一条边长都相等的情况下，是否就可以认定其为正多边形？实际上，对于这一问题而言，就是引导学生立足于反向思维，考虑多边形和正多边形之间的区别，这样必然能够帮助学生对知识产生更清晰的认知.由于思考的角度不同，学生也会在实际思考的过程中，拥有更多的发现，也能够就此意识到：正多边形不仅仅涉及边长相等，同时包括内角度数相等.只有满足上述两个条件之后，才能真正判定这一结论.通过这样的学习方式，能够使学生养成良好的思考习惯.

基于反例教学，有助于提升学生思维的发散性.在教学中，教师应借助科学的训练方式，强化学生对知识的认知.通过反例教学，能够提升学生思维的发散性，使学生可以考虑到更多的方面及更多的内容，立足于不同的情况，选择不同的解题方式，这样才能够帮助学生高效地掌握知识，也能够在考试或集中训练的过程中，快速找到正确的解题方法.

总之，在初中数学教学中，恰当且灵活地运用反例这一教学方式，能够帮助学生更全面、更深刻地理解数学概念，高效地掌握知识，同时有助于突破思维定式，自主发现问题，自主纠正错误，既有助于促进发散思维的发展，也有助于提升逻辑思维的严谨性.所以，教师必须加强对反例教学的研究，这样才能做到灵活运用，恰当运用.