文江门市第一中学 罗学敏
高考试题源于课本,而又高于课本。课本上的典型例题和习题,常常被作为编制千百同类题目的“题根”。许多高考试题都可以在课本中找到“题源”。本文以教材选修2-2 P32习题B1为例,探索如何在基本框架ex≥1+x与x≥1+lnx基础上,结合函数性质,把ex,lnx线性化,放缩ex,lnx,妙解函数问题编制的优美高考数学试题。
对于ex≥1+x的证明,只需构造函数f(x)=ex-x-1,则f' (x)=ex-1
令f' (x)=0,解得x=0,因为x∈(-,0),f' (x)<0;x∈(0,+),f' (x)>0,
所以f(x)≥f(0)=0,即证得ex≥1+x。
同理可证,x≥1+lnx。
二、不等式ex≥1+x与x≥1+lnx在高考数学中的应用
即证(1+x)2≤e2x;x∈[0,1]
由于ex≥1+x(x∈R)
则 (ex)2≥(1+x)2
即e2x≥(1+x)2
所以,原不等式成立,命题得证。
点评:由于欲证不等式不便于直接证明,因而采用间接证明的方法——分析法;本题对所证不等式变形后,间接使用结论ex≥1+x,从而使问题得证。
例2:(2013年新课标卷)已知函数f(x)=ex-ln(x+m)。当m≤2时,证明:f(x)>0。
证明:利用两个结论ex≥1+x与x≥1+lnx得:
f(x)=ex-ln(x+m)≥(1+x)-[(x+m)-1]=2-m≥0 (m≤2)。
上式取“=”的条件是x=0,x+m=1且2-m=0,这是矛盾的。
所以f(x)>0。
点评:充分利用两个结论ex≥1+x与x≥1+lnx和所给已知条件,通过化简或者推导逐渐向问题靠拢。
解(1):f(x)的定义域为(0,+),
若a≥0时,则当x∈(0,+)时,f' (x)>0,
故f(x)在(0,+)上单调递增,
当x∈(0,1)时,g' (x)>0;当x∈(1,+)时,g' (x)<0。
所以g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+)上单调递减。
故当x=1时,g(x)取得最大值,最大值为g(1)=0。
所以当x>0时,g(x)≤0,
通过以上几题可以看出,每年高考数学试卷中,总能够找到许多与教材中的例题相似或来源于教材的试题,这些试题考查的都是教材中最基本、最重要的数学知识和技能。因为,高考复习回归教材,用好教材,重视基础知识和基本方法是取得好成绩的前提。