基于“一题一课”微专题下的深度教学*——以“一道数学高考题引发的思考”示范课为例

☉四川师范大学数学科学学院 孙 佳

☉四川师范大学数学科学学院 张 红

一、引言

智能机器的出现和挑战，让我们不得不思考：如何在课堂上实现教师的教育价值，实现“人”的教育？如果从学科本身、数学内容、教师角色三个角度来思考“深度教学”的话，深度教学是体现数学学科本质，直击数学知识核心、反映教师教学有效程度的一种教育模式，以促进学生的深度学习.从教师的角度来讲，深度教学是让学生进行深度思维的教学.而深度教学的对象是学生，于学生而言深度教学则是以构建学生高阶思维发展，以及以学生关键能力的获得为方向的一种集认知、技能、情感为一体的数学学习过程.关于深度教学，我们的理解就是把一些重要内容“教活、教透、教深”.

那么如何改进如今的课堂教学，从而来帮助学生培养和发展核心素养呢？打造“深度”数学课堂则要关注学科本质，注重价值观的形成、知识与经验的整合以及社会适应能力等.通过微专题下的深度教学，教师一方面可以建构适量数学知识内容之间的联系，帮助学生理解知识本质，从而形成良好认知结构；另一方面可以融知识于应用之中，提升学生解决问题的能力.笔者将基于成都市C中学K老师的一堂示范课，探讨如何在深度学习理念下进行“一题一课”的深度教学.

二、案例描述

课前K老师将任务布置给学生，要求学生以小组合作的方式，探究尽可能多的解法，并在课堂上进行展示.接下来，笔者将用“选择性课堂实录”法对课堂上学生的精彩表现进行描述.

题目若函数f（x）=（1-x2）（x2+ax+b）的图像关于直线x=-2对称，则f（x）的最大值为______.

片段一：教学过程注重逻辑推理的引导

此片段是教师在引导学生对问题进行拆分后并求参数的值时，期望学生从多角度去思考问题，进而提升学生的逻辑推理能力.

师：接下来小组讨论并分享求a，b两个参数有哪些不同的求解方式？哪些同学来分享一下.

生A：第一步是求函数的解析式，就是确定a，b的值.我们组想到了三种方法：特值法、导数法、零点法.

师：请具体地说一下过程.

生A：对于特值法，因为函数图像关于x=-2轴对称，所以我们可以在函数图像上任取关于x=-2对称的两点.

师：你取的是多少呢？

生A：-1和-3，1和-5.然后就构造了两个方程式f（-1）=f（-3），f（1）=f（-5），从而解出a和b的值.这是第一种方法.法二是导数法，因为原函数图像关于x=-2轴对称，所以它的一阶导数就关于（-2，0）中心对称，二阶导数就关于x=-2轴对称.然后把函数的一阶导数和二阶导数分别求出来.

师：（板书）也即由方程f′（-2）=0，f″（x）关于x=-2对称，即可求出a，b的值.

生A：法三是零点法.我们观察原函数的结构可以知道它有两个零点x=1和x=-1，又因为它是关于x=-2轴对称，所以我们根据对称得出它还有另外两个零点x=-3，x=-5.然后x=±1是函数结构右侧的两个零点，则x=-3，x=-5就是函数结构左侧的两个零点.从而可列出表达式，求出a，b的值.

片段二：教学过程注重对教材内容的深度挖掘

此片段是老师在引导学生运用导数法求最值时记录下来的，由于导数法是通法，但求导函数的零点时遇到了障碍，有一个三次代数式，要求其零点，就需要对三次代数式进行因式分解，对于三次方程的因式分解，学生是如何处理的呢？

师：对于函数的零点有哪些方法求解呢？

生B：因为这个函数图像关于x=-2对称，所以它的一个极值点是-2，又因为它是一个三次函数，所以得到一个根为-2，我们可以用短除法求解.（上台演示）

师：很好，还有其他方法吗？

生C：还有一种方法就是运用三次方程的韦达定理.

师：三次方程的韦达定理，在哪里出现过？

生C：选修2-2的113页.

师：请大家把教材拿出来，这是教材阅读的内容.

生C：因为这个导数刚好是三次，所以可以用此公式来找到另外两根.

师：这位同学就是用书上的公式来得到另外两根的.这也提示我们当遇到一些因式不便分解的时候，我们可以运用公式，但前提是我们把教材上包括阅读、探究的内容仔细研究了，并用心体会了，这样才可以使问题得到解决.

片段三：教学过程注重激发学生的创造性思维

此片段是在处理函数最值时，学生创造性地将函数与“海伦公式”进行对比，运用三角形面积的最值来求函数的最值问题.

师：除了运用导数法处理函数的最值之外，还有什么其他方法呢？

生D：（上台演示）我还用了另外两种方法，有一种就是运用“海伦公式”来求解的.

师：海伦公式主要是处理什么的？

生D：三角形的面积.这里我们把（fx）变形为（fx）=（1-x）（1+x）（x+3）（x+5），就可得到四个一次的因式.而刚好海伦公式里也有四个一次式，所以令p=x+5，代入（fx）里面，然后就可以得到这样一个式子s（p）=，把它想成三角形的三条边，就可以计算出三角形面积的最大值为.所以（fx）=s2=16.

师：讲的很清楚（一片掌声）.如果对这个公式不熟悉的同学可翻到《必修5》21页的“阅读与思考”.大家观察这个式子的结构，思考为什么要用海伦公式去求解呢？（停顿一下）是不是其结构都是四项的乘积啊？但海伦公式里面出现的这些字母p，a，b，c是有具体含义的.p是它的半周长，a，b，c是三边长.其实在这个解法里面我有一些疑问：生D把x+5令成p的意思就是默认了x+5就是四个值里最大的.那它是四个值里最大的吗？

生D：（迟疑了一下）是啊！

全班：不一定.

师：x+5可以确定是x+1，x+3，x+5里面最大的，但是1-x和x+5其实是可大可小的，所以应该是不一定的，但是我们这样操作下来，答案又是对的.那这个原因是为什么呢？我们看看有没有其他同学可以帮助你.

生E：因为海伦公式的四项里有p，p-a，p-b，p-c，且都具有几何意义.我们构造的是1-x，x+1，x+3，x+5.我们将其分别相加得4p-（a+b+c）=2p和2x+10，则2p=2x+10，所以p=x+5.又观察到f（x）是关于x=-2对称，刚才图像的描绘中，可以看到当x∈（-1，1）时，它的图像是在x轴的上方.同样，x∈（-5，-3）时，图像也在x轴的上方，故也是大于零的，则f（x）的最大值肯定在这两个区间内，又因为对称性，所以只需考虑x∈（-1，1）这个区间，而在这个区间，p=x+5大于1-x，故x+5是最大的.

师：非常好，解释得很清楚.所以如果我们要运用海伦公式，就要认清它的性质与条件.我们把所有元进行替换后，就完全变成了海伦公式这个结构了，得到了这样一个数学模型，从而使问题得到解决.

三、案例分析

C中学开展的“数学教育系列活动”结束后，各位专家及学者都对本节课给予了高度的评价.其主要在于：

1.素材的恰当选择，让教学有“效度”

本堂课执教的K老师现任教高三，教学经验丰富，对课堂有良好的把控力，以2013年新课标全国卷Ⅰ的一道“求函数的最值问题”的填空题为例题，课前布置给学生，探索出题目的多种解法.让学生在课堂上分享研究成果，教师提炼数学思想方法.是一堂以学生为主体，把课堂交给学生的一次尝试.高三的学生需要怎样的课堂？作为一名高三老师能够给学生怎样的课堂？2017年高中新课程标准中强调“以学生的能力考查立意”，那么如何在课堂中实现这一目标呢？据K老师回忆，这道题第一次引起她的注意是在学校的一次数学测试中，学生完成情况较差，且得分率低.于是K老师找学生谈话，又对这道题进行评讲之后，发现这个题可以从背后挖掘出许多内容，有基础知识考查，有题目结构的分析，而且还蕴含着丰富的数学思想方法.第二次是数学备课组外出学习，多次讲座中有老师以此题为背景来探讨其中的数学韵味，故其再次引起K老师的注意，于是选择了这个题目作为载体.一开始K老师认为这只是一道考查函数最值问题的题目，后来发现2017年高考数学全国Ⅲ卷中的第12题也是考查函数的题目，并发现这两道题具有相通之处.于是，K老师将之前的课题《形式多异的最值》改为了《对一道高考题引发的思考》.

2.教学知识的灵活运用，让教学有“深度”

在人教版教材必修1中已经学过函数的基本性质，在选修2-2中已经学过导数及其应用.对于常规的函数问题，学生已具备基础，也有常用的研究方法.但是对于“新题、活题、创新题”，大多数学生感到束手无策.而为了帮助学生实现知识的迁移并对知识进行灵活地运用，探究简洁高效的解法就是“一题一课”教学模式的意义所在.数学“一题一课”微专题是数学课堂教学推广的一种教学方式，本堂课为了帮助学生理解函数的最值及几何意义，一方面通过运用函数图像，另一方面利用导数研究函数的最值来提高学生的逻辑推理能力，从而逐步培养和发展数学抽象概括、数学运算、直观想象以及数据分析、数学建模等核心素养.课前学生开展小组合作学习，在这个过程中养成团队意识.课堂上教师运用对比、启发、归纳、总结等教学方法来帮助学生理解，从而使学生能够在“一题多解”与“多题一解”之间游刃有余.

3.学生的创造性表现，让教学有“宽度”

本堂课虽然只研究了一道题目，但是这道题目所延伸出的内容是远远超出预期的.学生由一道求函数最值题联想到三次方程的韦达定理以及求三角形面积的海伦公式，这是建立在深度学习的基础上才能有如此创造性的表现.其中对课本的钻研就是其中之一，“三次方程的韦达定理”在中学对学生是不作要求的，但是具有深度学习品质的学生通过对课本深度地研读，发现了课本中被大多数同学所忽视的“阅读与思考”内容，而在解决实际问题时又能够灵活运用，将知识转化为能力，这才是学习的本质所在.另外，创造性思维绝不是循规蹈矩就能够养成的.学生在对函数进行变形时能够发现与海伦公式的相似之处，并能够正确地运用它，这恰好验证了数学的学习一定是系统的，并能够寻找到事物的相通之处，进而建立数学模型，再反过来应用到实际生活中.