圆锥曲线中离心率问题的解题策略

广西省贵港市桂平市第三中学 何汉莲

椭圆和双曲线的离心率是反映椭圆的扁平程度和双曲线开放程度，求解圆锥曲线离心率是高考的热点。在求解有关离心率的问题时，一般很少是直接求出和的值，而是根据题设结合椭圆或双曲线的几何特征，建立关于含有的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围，下面谈谈常用的几种方法。

题型一 直接计算法

解析： 如图，设|AF|=x，

点评：应用椭圆几何性质求椭圆的离心率的技巧与方法

1.技巧：与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形.

2.方法：通过已知条件列方程组，解出a,c的值，从而求解e.

3.注意数形结合思想在求离心率中的应用.

题型二 利用直线与圆锥曲线的位置关系求离心率的值或取值范围

例2 已知双曲线的一条渐近线方程为2x-y=0，则该双曲线的离心率为___.

点评：解决有关渐近线与离心率关系问题的两个注意点

讨论.

(2)求离心率的范围一般是根据条件建立a,b,c的不等式，通过解不等式得或的范围，再求得离心率的范围.

若l与C有两个不同的交点，求双曲线C的离心率e的取值范围.

分析：将l与C的方程联立消去一个未知数，得到一元二次方程，利用根与系数的关系可求得弦长；由l与C相交，知0＞Δ，从而求出a的范围，可得离心率的范围.

点评：知直线与圆锥曲线的位置关系时，用代数方法，通过判别式求解，方法简单、思路清晰.

题型三 利用圆锥曲线的定义求离心率

例5 已知F1，F2双曲线的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦.如果，求双曲线的离心率.知

点评：求双曲线离心率的常见方法：依据条件建立参数a,b,c的关系式，一种方法是消去b转化成离心率e的方程求解，另一种方法是消去c转化成含的方程，求出后利用求离心率.

题型四 综合数列与a,b,c的关系求离心率

例6 若椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，求该椭圆的离心率.

即3a2-2ac-5c2=0，∴

点评：求e的值或范围问题就是寻求它们的方程，若a,c的值不可求，可根据条件建立a,b,c的关系式，借助于，转化为关于a,c的齐次方程，再将方程两边同除以的a最高次幂，得到关于e的方程，即可求得e的值.

题型五 利用几何性质求离心率

点评：本题主要考查双曲线的几何性质及标准方程知识，考查数形结合思想与运算求解能力，属中档题.

总之求圆锥曲线的离心率的常用方法有两大类，一是求得a,c的值，直接代入公式求得；二是列出关于a,b,c的齐次方程（或不等式），然后根据,消去b，转化成关于e的方程（或不等式）求解。另外，解关于离心率e的二次方程时，要注意利用各个圆锥曲线离心率的取值范围进行根的取舍，否则会产生增根。