平行投影与三角形相似

云南省宜良县第二中学 李春红

小学学习正比例时，通过测量的方式获得“在同一时刻，同一地点，物长与影长成正比”.我们把这一事实整理为图1.图1中的物长A1C1和物长A2C2所在的直线垂直于地平线l，线段C1B1和C2B2分别为物长A1C1和物长A2C2的影长，A1B1和A2B2为物长顶端与影长末端的连线段.

1.探究图1中的Rt△A1B1C1与Rt△A2B2C2是否相似

2.当物长所在的直线不垂直于地平线l时所得的三角形的与原三角形是否相似.

我们把图1绕点B2旋转到使A2B2与地平线重合再向右平移得到图2.在图2中，把Rt△A1B1C1平移到使点B1和点B2重合时得到图3，在图3中用一组平行于A2C2的光线照射物长B1C1和物长B2C2，此时，Rt△A1B1C1和Rt△A2B2C2的对应角是否相等？物长与影长是否成正比？由平移和旋转是全等变换可知Rt△A1B1C1和Rt△A2B2C2的对应角相等，物长与影长成正比.同样，在图2中，如果把Rt△A1B1C1平移到使点A1和点A2重合时得到图4，在图4中用一组平行于B2C2的光线照射物长A1C1和物长A2C2时，由平移和旋转是全等变换可知这两个三角形的对应角相等，物长与影长成正比.

如图5中，当物长A1B1和物长A2B2所在的直线不垂直于地平线l，用一平行光线照射物长A1B1和物长A2B2，由物长、影长和物长顶端与影子末端的连线段组成两个锐角三角形，它们分别是△A1B1C1和△A2B2C2.由A1C1∥A2C2和公共角相等可得这两个锐角三角形的角对应相等.过点B2作B2D2⊥A2C2，垂足为D2，交A1C1于点D1，这条垂线把图5中的△A1B1C1和△A2B2C2都分成图两部份，一部份由Rt△B1C1D1和Rt△B2C2D2所组成，一部份由Rt△B1A1D1和Rt△B2A2D2所组成，可以看出图5被这条垂线分割开的每一部份都是图3和图4中的基本图形，从而得到m，C2D2=mC1D1，D2A2=mD1A1.

总结：平行于三角形一边的直线截其它两边或两边的延长线，所截得的三角形的三个角与原三角形的三个角对应相等，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例(即所截得的三角形与原三角形相似).

3.利用平移和旋转运动可以由图8得到图9

4.整合：可以由平行进行以下两个方面的推导

第一方面：平行于三角形一边的直线截其它两边或两边的延长线，所截得的对应线段成比例.此类比例式中的线段与平行线上的线段无关。

第二方面：平行于三角形一边的直线截其它两边或两边的延长线，所截得的三角形与原三角形相似。