变压器中低频电磁暂态模型研究综述

张国栋，刘 凯

（1.山东科技大学电气信息系，济南 253500；2.国网河南省电力公司洛阳供电公司，河南 洛阳 471000）

变压器是电力系统的重要组成元件之一，由于采用了大量的铁磁材料，变压器的参数表现出很强的非线性和频率相关性。变压器的建模仍然是目前的薄弱环节之一。

1 变压器模型

1.1 基于电路的模型

该模型最早由Brandwjn等学者于1982年提出，并成功应用于电磁暂态仿真程序EMTP。其基本思路是将变压器各绕组视为一组相互耦合的电感，构建变压器的等值电路模型[1-2]。根据电路模型可列写支路的电压方程如式（1）：

式中：Zii为各支路自阻抗；Zij为支路间互阻抗。

在暂态情况下，方程可表示为：

式中：[v]为各绕组电压列相量；[R]为支路电阻矩阵；[i]为各绕组电流列相量；[L]为支路电感矩阵，其主对角线元素表示各支路自电感，非主对角线元素表示支路间的互电感。

取电流作为状态变量，解上述方程组，得到变压器电压、电流值。该模型的概念清晰，但存在以下问题：

（1）变压器励磁电流越小，则电感矩阵中的元素值越大且越趋近于相等，受计算机计算精度的影响，有可能导致矩阵不可逆，进而导致上述方程不可解。极端情况下，若忽略励磁电流，则励磁支路断开，此时电感矩阵[L]不存在。为解决该问题，采用如下方程：

直接求取逆电感矩阵[L]-1，然后解方程组。

（2）不能反映变压器内部磁变量的情况。该模型不包含变压器几何参数、拓扑结构等信息，无法反映铁心内部各个位置磁通量、磁通密度等信息。

（3）不能反映变压器非线性情况。逆电感矩阵[L]-1为常数阵，上述方程组是线性方程组。然而，变压器暂态过程中，需要考虑铁心的饱和，此时各个电感不再是常数。为解决该问题，通常在变压器最靠近铁心侧的绕组端口处并联非线性电感，以双绕组变压器为例，其仿真模型见图1。

图1 考虑铁心非线性特性的线性变压器模型

该模型属于线性模型，仅适用于研究稳态情况下的变压器电压、电流。并联非线性电感的方式可以用于暂态过程，例如开展励磁涌流的研究，但仍不能反映铁心内部各位置磁通量、磁通密度等情况。

1.2 基于磁路的模型

为更好地反映变压器内部磁变量情况，人们相继提出了基于磁路的模型。以三相双绕组变压器为例，其结构和等效磁路分别如图2（a）、图2（b）所示。文献[2]中，Xusheng Chen等构建了三相多绕组变压器的等效磁路，其目的是用于更直观地形成方程（3）所需要的[L]-1，并未对等效磁路进行详细求解，因而其本质上仍然是基于电路的模型。基于磁路的模型可分为以下2种。

1.2.1 统一磁路模型

Enright等在文献[3-6]中详细阐述了该建模方法。其基本思路为：根据变压器拓扑结构（为了简洁，图2（a）中未画出低压绕组），建立起等效磁路模型如图2（b）所示，进而列写各支路磁通量与励磁磁动势的方程。

式中：[φ]为支路磁通列相量；[P]为支路磁导矩阵；[F]=[N][i]为各绕组磁动势；[I]为单位阵；[A]为磁路的支路-节点关联矩阵。

图2 三相双绕组芯式变压器结构及对应等效磁路

通过联立公式（4）—（6），即可求得变压器各绕组电压、电流以及各支路磁通等变量。

该模型体现了变压器拓扑结构，可以反映变压器内部各支路磁通量的变化。另外，对于铁心饱和的影响，可以根据不同的铁心饱和模型，在每一个仿真步长更新支路磁导矩阵[P]来体现。该模型在PSCAD/EMTDC中获得了应用。

1.2.2 基于对偶原理的模型

Cherry于1949年提出的基于磁路-电路对偶性原理的建模方法被认为是能够正确反映变压器物理结构的一种建模方法[7]。而建模过程中，最大限度地利用现有的电磁暂态仿真软件，尽可能减少甚至取消编程变得越来越流行。

文献[8]中，利用对偶性原理建立了三相三绕组芯式变压器的仿真模型。建模过程为：首先根据变压器结构，建立变压器的等效磁路，然后利用对偶原理，将等效磁路中的磁阻转换为电感，节点转换为回路，回路转换为节点，磁动势转换为CCCS（电流控制电流源）。为了体现变压器的变压功能，需要将CCCS用理想变压器代替。利用该方法，文献[9]进一步考虑了绕组的相间电容及对地电容的影响，从而扩展了该模型的工作频率范围。文献[10]考虑了变压器外壳对漏磁通的影响，建立了更完善的仿真模型。

该建模方法中，需要先建立变压器的等效磁路，再利用对偶原理转换为等效电路。当变压器结构较复杂时，这种转换将变得较为困难。针对该问题，文献[11-13]采用了一种所谓“基于变压器窗口”的等效电路，并详细阐述了利用试验进行参数测定的方法，其建模过程为：首先绘制变压器窗口模型，然后在窗口模型上直接绘制各磁路分支的等效电感，将等效电感进行串并联，然后添加上理想变压器，即得到等效电路。

综上所述，利用对偶性原理建模的方法，可以使用标准电路元件将电磁器件的物理磁路转换为适合于电磁暂态仿真软件中仿真的对偶电路，从而最大限度地利用现有软件，减少编程工作量，提高建模速度。该模型较为全面地考虑了铁磁材料的非线性特点，适用于励磁涌流、铁磁谐振等现象的研究。但对变压器内部电磁现象的描述仍较为粗略，无法用于指导变压器的设计工作。

1.3 基于有限元分析的模型

利用2D或3D有限元仿真软件，可以对变压器进行电磁暂态仿真。其优点是仿真精度高，可以反映变压器磁路中各个位置的磁通量等；缺点是计算量大，仿真速度慢。文献[14]利用3D有限元仿真软件JMAG Designer对某三相双绕组芯式变压器进行了时长4 s的仿真，仿真步长为500 μs，软件实际运行时间为13 h。该模型可以详细地反映变压器电磁暂态过程中的各种物理量，理论上可用于各种电磁暂态过程的研究，但受制于仿真速度，该模型更适合于变压器设计过程。

2 漏电感模型

漏电感对于变压器的电磁暂态行为往往具有重要的影响[1]。迄今为止，建立的变压器漏电感模型主要包括负电感模型、BCTRAN模型和耦合电感模型[14]。

2.1 负电感模型

该模型由Boyajian于1924年提出[11]，用于研究稳态运行工况下的变压器行为。漏电感参数的计算基于传统的变压器短路试验，计算公式见式（7）—（9）。如图3所示，当三绕组变压器的绕组采用同心式结构时，其中间绕组的等值漏电感通常为负。过去30年来，对于利用该仿真模型时出现的数值不稳定现象，部分学者认为是由该负电感引起的。现有研究表明，数值不稳定现象不是由负电感引起，而是由于变压器星形等值电路中，未考虑变压器的实际拓扑结构，将励磁支路错误地放在了星形绕组的中性点。解决数值不稳定（振荡）的方法主要包括：绕组的端口接激磁电阻，以增加系统阻尼；或者如图3中虚线部分所示，将励磁支路放在低压侧（内侧绕组）的端部[3]。

图3 采用负电感模型的三绕组变压器等效电路

2.2 BCTRAN模型

作为电磁暂态程序EMTP的子程序，BCTRAN采用矩阵来表示漏电感[1]。稳态情况下，采用标幺值表示时，若忽略励磁电流，则：

此时，可将公式（1）整理为公式（11）的形式。

该方法的优点是：阻抗矩阵中的元素均通过短路试验获得，最大限度地保留漏阻抗信息，避免了采用原始方程式，当励磁电流较小时（对应的励磁阻抗较大），漏阻抗（此时数值较小）被励磁阻抗湮没的问题。

2.3 耦合电感模型

该模型于2009年提出，初期用于三绕组变压器[12]，后于2012年被扩展到多绕组变压器。对于三绕组变压器而言，其等值电路如图4所示，耦合电感M的计算采用公式（12）。现已证明，对于三绕组变压器而言，负电感模型和耦合模型是等效的[7]。

图4 采用耦合电感模型的三绕组变压器等效电路

3 铁心模型

正常情况下，变压器铁心的工作点位于饱和点（膝点）附近。当发生励磁涌流或铁磁谐振等暂态现象时，铁心将处于深度饱和区域，呈现出非常强的非线性。因此，研究变压器的电磁暂态行为时，建立合理的铁心模型具有重要意义。

3.1 线性变压器与饱和电感模型

本文1.1节介绍的变压器模型是一个线性模型，未考虑铁心饱和对变压器行为的影响，这是该模型的一个重要缺点。如图3所示，为了模拟饱和状态下变压器的非线性行为，可以采用在变压器最内侧绕组并联非线性电感的形式。EMTP程序中，变压器采用BCTRAN模型，非线性电感采用TYPE96模型。

3.2 单值非线性电感模型

文献[2，9]中，采用了如图5所示的单值磁化曲线来描述铁磁材料饱和后的非线性特性。实际建模过程中，需要利用分段线性化的方法来表示该磁化曲线，具体分段数与所研究的问题相关。研究励磁涌流等深度饱和问题时，在已知剩磁的情况下，将该非线性电感分成2段描述就已足够精确[7]。若饱和程度不深，则需要分成2段以上进行描述。需要注意的是，不管分为几段，最后一段的斜率应与空芯电感的斜率（图5中虚线所示）相同，其斜率为真空磁导率μ0。

图5 单值非线性电感

3.3 考虑磁滞的非线性电感模型

磁滞行为中一个重要现象就是磁滞回线随着电压幅值与频率的变化而变化，因而每一个磁滞回线引起的铁心损耗均不相同。

F.Preisach在1935年提出一种考虑磁化历史的磁滞模型，可以模拟主磁滞回线和次磁滞回线簇。Jiles和Atherton在1984年提出了一种不考虑磁化历史的磁滞回线模型，以上2种模型的参数计算都较为复杂。文献[15]在利用已知主磁滞回线数据的基础上，采用分段线性插值法拟合次磁滞回线簇，方法更为简单。

以上模型本质上来讲都属于数学上的曲线拟合方法，不能真实地反映铁磁材料的物理特性，因此被称为静态磁滞模型[7]。

文献[10，14]中介绍了一种可以反映铁心损耗的动态磁滞模型：

式中： Hhys（B）采用静态磁滞回线模型； keddy=d2/（12ρ）被称为涡流系数，是铁磁材料厚度d和电阻率ρ的函数；g（B）决定了动态磁滞回线的形状；δ被称为方向系数，当模拟磁滞回线上支路时取1，模拟磁滞回线下支路时取-1。

该模型的优点在于不仅能反映磁通密度与磁场强度之间的磁滞关系，而且能模拟铁磁材料引起的功率损耗。

4 变压器损耗模型

变压器损耗主要包括由绕组电阻引起的铜耗以及由变压器铁心引起的铁耗。早期的变压器电磁暂态模型中，用固定阻值的电阻来模拟变压器绕组的铜耗和铁耗[2]。研究表明：铁耗不仅与磁通密度有关，还与磁化频率、电压波形有关[14]，电磁暂态过程中，励磁电压通常为非正弦波，因而幅值和频率都会改变。即使励磁电压是正弦波，在磁轭和三相五柱变压器的边柱上，磁通也为非正弦。这些情况下，需要更精确的模型反映铜耗和铁耗的变化。

图6 Foster等值电路

4.1 Foster等值电路

Foster等值电路如图6所示。该电路可用来模拟集肤效应等原因造成的铜耗的频率相关性。

4.2 Cauer等值电路

Cauer等值电路有图 7（a）和 7（b）2 种表示形式，二者为对偶关系，可以用来反映因集肤效应等原因造成的铁耗的变化。在已知实测损耗数据的前提下，可以通过曲线拟合的方法确定等值电路中各元件的参数值。该模型的精度受频率变化范围和等值电路阶数的影响。文献[16]的研究表明，频率在200 kHz以下时，采用4阶等值电路，误差在5%以内。

4.3 动态磁滞模型

采用3.3节中所介绍的动态磁滞模型，可以反映铁心损耗的变化。与公式（13）相对应的能量损失可以表示为：

式中：Whys表示静态磁滞损耗；Weddy表示涡流损耗；Wexc表示附加损耗。

该损耗模型将铁心损耗进行了分离，具有明确的物理意义，在实际工程中应用较多。

图7 Cauer等值电路

5 模型适用范围

变压器的电磁暂态模型源于BPA版的电磁暂态程序EMTP，迄今已有30多年的发展历史。经过多年的发展，变压器模型已由最初只考虑绕组漏电抗的线性模型，发展到考虑铁心饱和的非线性模型，进而再发展到考虑变压器外壳及附件等的模型。

然而，在变压器暂态的具体研究中，通常不必考虑全部参数，只需根据研究的具体内容来确定具体参数。例如，在大部分中低频电磁暂态研究中，绕组的相间电容以及对地电容往往是可以忽略的。文献[7]给出了具体研究内容所需要考虑的参数，详见表1。

表1 变压器建模指导

6 结语

搭建变压器模型目前仍然是电力系统元件中的薄弱环节。文中总结了现有的中低频变压器电磁暂态模型、漏电感模型、铁心模型、损耗模型及其基本原理。其中，基于阻抗矩阵的电路模型，完整地保留了漏抗的信息，但未能体现铁心的具体结构以及非线性特性；基于磁路的模型，可以反映铁心的具体结构以及非线性特性，但在计算过程中需要不断更新磁导矩阵，计算量较大，编程复杂；基于对偶原理的模型，可以充分利用现有电磁暂态软件的资源，建模速度快，兼容性好；基于有限元分析的模型，仿真精度高，计算速度慢，较适合于变压器设计阶段的分析计算。