浅谈全国高考文科数学中的数列

石玲 汪舒琪 王婷婷 陈阳 李媛媛

摘 要：随着新课标的全面实施，数列成为全国高考必考内容且分值不低，本文通过对近几年的全国文科数学高考卷的分析，利用等比、等差数列的通项公式，前n项和公式，求Sn最大、小值，判断是否为等差、等比数列，采用裂项相消法和错位相减法求前n项和等方法解决高考数列问题。

关键词：错位相减;裂项相消;通项公式

一对等比数列的考察

纵观近5年全国高考数学文科卷，主要考察等比数列的通项公式，前n项和公式，分类讨论思想（q是否等于一）等基础知识与基本运算，其中等比数列中基本量的求解，可利用通项公式及前n项和建立a1，q，n，an，Sn五个基本量之间的关系式，即“知三求二”，但an=

sn-sn-1时要n=1和n>=2讨论。

1（2019全国一卷文14）.记Sn为等比数列{an}的前n项和。若a1=1，s3=3/4则S4=5/8

优解一：设公比为q，由S3=a1+a2+a3=a1（1+q+q2）=34，a1=1，得1+q+q2=34， 解得q=-12，所以a4=a1 q3=-18，，所以S4=S3+a4=58。

优解二：设公比为q，易知q≠1，设数列的前n项和Sn=A（1-qn）（其中A为常数），则a1=S1=A（1-q）=1①，S3=A（1-q3）=

34②，由①②A=23，q=-12，S4=58。

二数列与初等函数的结合

将数列与对数函数结合，这要求学生在熟练地掌握数列的基本知识的同时也要掌握对数函数基本运算和对数性质。

1（2019全国二卷文18）已知{an }是各项均为正数的等比数列，a1.=2，a3=2a2+16

（1）求{an}的通项公式;

（2）设bn=log2 an ，求数列{bn }的前n项和。

解：（1）设{an }的公比为q，由题设得2q2=4q+16，即q2-2q-8=0。解得q=-2（舍去）或q=4。因此{an}的通项公式为an=2×4n-1=2

2n-1

（2） bn=（2n-1）log2 2=2n-1，数列{bn }前n项和为1+3+…+2n-1=n2。

三对等差数列的考察

纵观近5年全国高考数学文科卷，与等比数列相似，考察学生对等差数列通项公式，前n项和公式和等差数列基本性质的掌握情况，其中，数列的递推关系是求数列的通项公式的重要依据，若所给条件是关于通项an与前n项和的等式，求解时，先令n=1，求出a1再借助an+1=Sn+1-Sn，求出数列各项之间的关系，这是判断数列类型的重要依据，也是解题的关键。

（2019全国一卷文18）记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9=-a5.

（1）若a3=4，求{an}的通项公式;（2）若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围。

解：（1）设{an}公差为d.由S9=-a5得a1+4d=0.

由a3=4得a1+2d=4.于是a1=8，d=-2.{an}的通项公式为an=10-2n.

（2）由（1）得a1=-4d，故an=（n-5）d。sn=n（n-9）d2由a1>0知d<0，故Sn…an等价于n2-11n+10，0，解得1≤n≤10.n取值范围是{a|1 n 10，n∈N}。

四判断是否为等差、等比数列

等差数列的判定与证明方法：1定义法：用定义法时常用两个式子an-an-1=d和an+1-an=d有差别，前者必须加上n≥2，否则n=1时a0没有意义，2等差中项法，2an=an-1+an+1 （n≥2，n∈N*）成立，3通项公式法an=pn+q对任意正整数n都成立，4前n项和公式法：验证数列{an }前n项和Sn=An2+Bn（A，B为常数）对任意正整数n都成立，{an}为等比数列，an>0→{loga an }為等差数列（a>0，a≠1）与等差数列相似，综上等比数列判定与证明四种方法，只是数列性质不同而已。

1.（2018全国一卷文17）已知数列{an}满足a1=1，nan+1=2（n+1）an，设bn=ann。

⑴求b1，b2，b3⑵判断数列{bn}是否等比数列，并说明理由⑶求{an}的通项公式。

【解题思路】由nan+1=2（n+1） an，得到an+1=2（n+1）n an，所以a2=4，a3=12，分别代入bn=

ann，求出b1，b2，b3;（2）由题设条件得出bn+1=2bn，即可证明数列是{bn}等比数列;（3）由（2）结论求出{bn}通项公式进一步求出{an}通项公式。

解 （1）有条件可得an+1=2（n+1）n an，将n=1代入得a2=4a1，而a1=1，所以，a2=4。

将n=2代入得a3=3a2，所以，a3=12，从而b1=1，b2=2，b3=4。

（2）{bn }是首项为1，公比为2的等比数列，an+1n+1=2ann。即bn+1=2bn，所以{bn }是首项为1，公比为2的等比数列. （3）由（2）可（下转第84得ann=2n-1，所以an=n2n-1

五裂项相消法和错位相减法

既不是等差数列也不是等比数列时，求数列前n项和时可以裂项相消，错位相减，倒序相加和分组求和，其中裂项相消是把数列和式中的各项分别裂开后，消去一部分从而计算和的方法，适用于通项为1an an+1的前n项和，其中{an }为等差数列，1an an+1=1d （1an -1an+1 ），常见的拆项方法有：an=f（n+1）-f（n）;an=1n（n+1） =1n

-1n+1;an=1（2n-1）（2n+1） =12 （12n-1-

12n+1）;an=1n（n+1）（n+2） =12[1n（n+1） -1（n+1）（+2n） ];错位相减主要用于求数列{an，bn}的前n项和，其中{an}，{bn}分别为等差和等比数列.

1（2017全国三卷文17）设数列{an}满足a1+3a2+…+（2n-1）an=2n.

求{an}的通项公式;（2）求数列{an2n+1}的前n项和.

解（1）∵a1+3a2+…+（2n-1）an=2n，①∴n≥2时，a1+3a2+…+（2n-1）an-1=2（n-1），②①-②得，（2n-1）an=2，an=22n-1，又n=1时，a1=2适合，∴an=22n-1;（2）由（1）an2n+1=2（2n-1）（2n+1）=12n-1-12n+1，∴Sn=

a13+a25+…an2n+1=（1-13）+（13-15）+…+（12n-1-12n+1）=1-12n+1=2n2n+1.

[参考文献]

[1]同济大学数学系，《高等数学》（第五版），高等教育出版社，2002.

[2]潘承洞、潘承彪《初等数论（第三版）》， 北京大学出版社，2013年8月

（作者单位：江汉大学数学与计算机科学学院，湖北 武汉 430056）