多星系统的本质之美——质心在行星运动中的应用

郭晓春

（华中科技大学附中，湖北 武汉）

今年高考中的两星问题成为物理选择题的压轴题。熟悉此类问题的学生轻松得分，赢得了大量的宝贵时间，而部分学生却茫然无措，甚至痛失分数。为了能够更好地帮助学生应对此类问题，我总结归纳了双星问题的解题技巧并将其提升到多星角度，希望能对大家有所裨益。

首先我们来研究双星问题的一般“套路”和可以帮助我们解决大多数问题的二级结论。设双星质量为m1、m2，各自做圆周运动的角速度为 ω1、ω2，半径为r1、r2，双星之间的距离为L，所受向心力为F1、F2。

双星问题的最大特点为：（1）互相绕着运动的角速度相等。（2）受万有引力（向心力）相等。

再来看今年全国一卷的高考题20题。已知ω，L则根据上面所得关系，由二级结论则推出G=ω2L3可知质量之和；v1+v2=ω（r1+r2）=ωL故可知速率之和。故选B、C。部分考生此题丢分的关键在于误选D选项。将其等价为各自角速度而忽略“自转”关键词。一般在双星问题中，我们难以得到与星体自转相关的结论。只要稍加小心，这样的丢分是完全可以避免的。

而要想彻底破解双星问题的奥秘并解决多星问题，我们所需要的不仅是熟悉二级结论解题套路，更要抓住问题的核心：质心。

我们从上面的结论中不难发现，在双星问题中，有一个关键位置——即两颗行星成圆周运动的共同圆心，也恰好是这个系统的质心。

下面我们利用三星系统来检验和进一步体会质心在解决此类问题中的作用。

以正三角形三星系统为例，边长为a，如图第一步，我们找到这个系统的质心。在CD上取A点，使，在CB上取E点效仿A点，并取两条线的交点即为质心。

第二步我们找到这个三星系统的不动点，即三颗星系统之稳定圆周运动的位置。以m1为例，由力的平行四边形法则∴ 合力的方向为。由此可见，在此三星系统中，“不动点”与“质心”依然重合。

那么，得到了这个有趣的结论，可以如何帮助我们解决问题呢？

1.推而广之，质心的概念在高中学习中似乎少有涉足，但实际上在行星运动问题、动量问题中的人艇模型和圆周问题中的两木块牵引旋转问题中都有体现，可实现快速解题。因为“质心不动”是解决大部分问题的终南捷径。

2.在多星问题上，它可以帮助我们判断三星乃至多星系统能否稳定存在。一个多星系统要想稳定存在，必须具备两个条件：（1）每颗星受到的合力必须指向质心；（2）每颗星必须以相同的角速度绕质心旋转。下面举反例来方便学生更好地理解。

探究等腰直角三角形三星系统是否稳定存在。取特殊情况，三星质量均相等，边仍为a。由几何知识易知，A点为系统的质心。然而对B点行星，合力方向不指向质心，故该三星系统无法稳定存在。

通过上面的学习，相信大家已经对“质心”有了更深一层的了解。其实，不只是通常意义上的多星问题，行星卫星绕地球或太阳运动的问题其实也是双星问题，同样有类似的结论和规律。只是在高中的学习中将其简化，由于两星质量相差巨大，近似地认为质量较大的行星不动，这也是由于系统质心较为靠近质量较大的行星的质心。

对“质心”的研究，功利地说，是帮助学生深化对二级结论的理解和提高多星问题的解决速度，但更深层次上，是对物理学问题中隐藏的客观规律的探索与挖掘。根据文中的提示，希望学生可以获得一种新的眼光去审视物理题目，感受物理学的趣味并征服一切与之相关的题目。