待定系数法在圆锥曲线标准方程中的应用

王瑞华

摘要：待定系数法是解决数学问题时常用的数学方法，在中学数学的圆锥曲线标准方程问题中有着广泛使用。本文简单阐述了待定系数法的概念、理论依据及其解题步骤，并通过具体的实例重点论述了待定系数法在圆锥曲线中的应用。

关键词：待定系数法;圆锥曲线;中学数学

中图分类号：G633.6   文献标识码：A   文章编号：1992-7711（2019）11-0009

一、待定系数法的定义及其理论依据

将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新形式，这样就得到一个恒等式，然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫作待定系数法。更广泛地说，是要确定变量间的函数关系，设出某些未知数，然后根据所给条件确定这些未知数，使问题得到解决的方法。其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式[f（x）≡g（x）]的充要条件：对于一个任意的[a]值，都有[f（a）=g（a）];或者两个多项式各同类项的系数对应相等。

二、待定系数法的应用步骤

利用待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程，使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决。要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。使用待定系数法解题的一般步骤可归纳为以下三点。

1. 确定所求问题含待定系数的解析式;

2. 根据恒等条件，列出一个（组）含待定系数的方程;

3. 解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。

如何列出一组含待定系数的方程，主要从以下几方面着手分析：利用对应系数相等列方程;由恒等的概念用数值代入法列方程;利用定义本身的属性列方程;利用几何条件列方程。

三、待定系数法在圆锥曲线标准方程中的应用

椭圆与双曲线的标准方程推导方法相同，得出方程形式类似，所以它们的解法也就有很多共同点，比如：已知曲线的轨迹是椭圆或双曲线时，求标准方程时都可用待定系数法，若焦点位置确定，直接设标准方程来求解;但若焦点位置不确定，直接设标准方程来求解需要讨论两种情况，有可能会导致漏解或过程繁琐，运算量增大。这就要加强对题目条件合理的使用，对方程进行适当的“改造”，达到避繁就简，事半功倍的效果。

例1：已知椭圆[x2a2+y2b2=1][（a>b>0）]的离心率为[22]，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点[F1]、[F2]为顶点的三角形的周长为[4（2+1）]。一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设[P]为该双曲线上已于顶点的任一点，直线[PF1]和[PF2]与椭圆的交点分别为[A]、[B]和[C]、[D]。求椭圆和双曲线的标准方程。

解：设椭圆的半焦距为[c]，则椭圆的离心率为[ca=22]。可得到关系式[2a+2c=4（2+1）]，即得[a=22]，[c=2]，根据[a2=b2+c2]，得[b=2]，故标准方程为[x28+y24=1]。设等轴双曲线的标准方程为[x2m2-y2m2=1][（m>0）]，由于等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点，则有[m=2]。

评注：要用待定系数法求解解析式，首先要知道函数解析式的形式，然后用字母表示出解析式，然后根据题目中给出的已知条件解出未知数，最后写出解析式。

例2：求经过两点[A（2，22）]，[B（-2，-32）]的椭圆的标准方程。

解：可设椭圆的方程为[mx2+ny2=1（m>0，n>0，m≠n）]，将[A（2，22）]，[B（-2，-32）]两点带入，得[4m+12n=1]和[2m+34n=1]，解得[m=18]，[n=1]。故标准方程为[x28+y2=1]。

评注：当椭圆的焦点在[x]轴上时，标准方程为[x2a2+y2b2=1]，焦点在[y]轴上时，标准方程为[x2b2+y2a2=1]。从形式上看，[1a2]和[1b2]分别是[x2]和[y2]前的系数，所以可以将标准方程统一改造成[mx2+ny2=1]，當[m>n>0]时，椭圆的焦点在[y]轴上;当[n>m>0]时，椭圆的焦点在[x]轴上，从而避免了讨论。

待定系数法实际就是将待定的未知数与已知数建立等式关系，从而列出方程或方程组，解方程或方程组即可得待定的未知数，只需根据题目给出的条件解题即可。用待定系数法解题，思路较为清晰，操作比较方便，在很多解题过程中都可以用到。但是在解题过程中，待定系数法并不是最为简单、合适的方法。因此解题时要根据具体的题目，选择简单又适合的方法。

参考文献：

[1] 叶立军.初等数学研究[M].上海：华东师范大学出版社，2008.

[2] 张大任.待定系数法[J].数学方法，2006（9）.

[3] 刘慧年.巧设求椭圆和双曲线标准方程[J].数学教育研究，

2011（10）.

[4] 周平华.待定系数法在高中数学中的应用[J].考试，2008（12）.

基金项目：重庆市研究生教育教学改革研究重点项目：基于创新理念的系统理论研究生专业课程体系优化研究（yjg182019）。

（作者单位：重庆市沙坪坝区大学城第一中学校   400000）