等比数列模型在初中数学教学中的应用

黄德诚

（广西壮族自治区桂林市宝贤中学，广西 桂林 541000）

一、等比数列模型应用概述

核心素养的提出是新一轮课改的最大亮点，促进学生核心素养发展已成为当前一线教师的核心教学指向。而作为数学学科核心素养的基本要素之一，“数学建模”素养对学生的发展尤其意义非凡，因为数学建模是学以致用的基础，是运用数学知识解决实际问题的必由途径，同时，它反过来又对学生巩固和应用相关知识起到显著的促进作用。就等比数列模型而言，其在实际的生产生活中有着广泛而重要的应用，从我省近年来的中考命题特点来看，涉及实际生活背景的等比数列题目亦非鲜见。这一方面是由于等比数列模型本身的重要性决定的，另一方面也受到新课标以考查学生核心素养为导向的基本命题原则的要求。故而一线教师应等比数列中渗透模型思想从而培养学生的建模意识和能力，在潜移默化中促进其核心素养的发展。可以说，在核心素养背景下，实施等比数列建模教学既是课标及基本要求，更是促进知识应用能力和解题应试能力的必由途径。

那么，关于等比数列的建模教学具体应如何落实呢？对此，我认为教师首先应切实理解数学建模的内涵及基本过程。课标中在核心素养部分给出建模素养的定义是：数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养。根据这一表述彰显的内涵意义，通俗来说数学建模就是对实际问题转化为数学问题从而利用相关数学知识解决问题，这就是数学建模。

具体到实际教学中，就是让学生在切实掌握等比数列基本知识的基础上，结合典型案例引导学生切实经历建立模型并用以解决实际问题的过程，使其对建模过程形成深刻体验，直至学生能够把握住具体情境的数学本质而判断出该用等比数列，其间的关键实际上是理解题意进而将其转化为数学问题。当然，这一目标无疑要以足够的案例演练为途径。

实际上，所谓核心素养的发展和成熟本身就是一种基于长期训练的潜移默化的过程，上述目标的达成也意味着学生的建模素养获得了显著发展。以下我们就来重点探讨两个较为典型的案例，由于案例演练是建模教学的关键，故这也是本文重心之所在。

二、等比数列模型应用案例

例1：某人欲于2024年年底以40万元购置一辆电动汽车，计划从2018年开始，每年年初存入银行一笔购车款项，到2024年底获得本息共40万元。若每年存同样数额的购车款项，依照年利息2%并按复利计算，则每年的存款数额应为多少？（已知：1.022≈1.1487）

解析：对于该题，首先是全面分析题意并找到题目中的关键信息，并理解其数学本质，从而转化为数学问题进而建立等比数列模型。不难看出，题目中关键信息即为“依照年年利息2%并按复利计算”，以此为突破口，结合题目情境，如果设每年应存的购车款项数目为x万元，则有：2024年年初存进银行的x万元到2018年底的本金加利息为x（1+2%），2023年年初存入银行的x万元到该年年底是的金加利息为x（1+2%）2；2022年存入银行的的x万元到该年年底的本金加利息为x+（1+2%）3……2018年年初存入银行的x万元到该年年底的本金加利息为x（1+2%）7。

由此不难发现，所谓“依照年利息2%并按复利计算”的数学本质即为an+1/an=1.02这一等比关系，即一系列式子构成公比为1.02的的等比数列，到2024年底获得所有本息40万元是其前n项和。这样具体情境问题转为了数学问题，进而可以很容易利用等比数列的前n项公式列方程而求出x的值。

该题具体解答过程为：设每年应存存入银行x万元，则由题目可得x（1+2%）+x（1+2%）2+x+（1+2%）3+……+x（1+2%）7=40，结合等比数列的前n项和公式有[x（1+2%）（1-1.027）]/（1-1.02）=40，解得x≈5.275万元，即从2018～2024年该人每年应存入银行大约5.275万元。

例2：若某市2018年新建住房面积400万平方米，其中中低价房面积为250万平方米，计划从次年开始，若干年内每年的新建住房面积平均比前一年增长8%。此外，每年新建住房中，中低价房的面积比前一年增加50万平方米。试求：

①到哪一年的年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米？

②到哪一年年底，当年建造的中低价房的面积占总建造面积的比例首次超过85%？（已知：1.084=1.36，1.085=1.47，1.086=1.59）

解析：该题有两问，分析题意不难发现，第一问需要建立等差数列模型，第二问则在第一问的基础上通过建立等比数列模型求解。这道题的难度并不大，但综合考察了等差数列和等比数列，从而更深刻地体现了模型思想的应用，属于较为典型的案例。

就第一问而言，关键性的条件是“每年新建住房中，中低价房的面积比前一年增加50万平方米”，其数学本质即为an+1-an=50这一等差关系，即历年的中低价房建造面积构成等差数列，其首项为250，公差为50，根据“历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米”这一条件可列不等式前n项和Sn≥4750，由此即可求得答案。该文具体解答过程如下：

设第n年中低价房的面积为an，则根据题意易知数列{an}为首项为250，公差为50的等差数列表，即an=250+（n-1）×50=50n+200，该数列前 n项和 Sn=250n+[n（n-1）]/2×50=25n2+225n，根据题意有25n2+225n≥4750，化简得n2+9n-190≥0，n为正整数，得到n≥10，即到2017年年底，该市历年所建造的中低价房累计面积首次超过4750平方米。

再来看第二问，首先需要将“若干年内每年的新建住房面积平均比前一年增长8%”这一关键条件转化为数学语言bn+1/bn=1+8%。即历年新建住房面积构成首项为400，公比为1.08的等比数列，再根据“中低价房的面积占总建造面积的比例超过85%”这一条件列出不等式an＞0.85bn，由此得到最终答案。其具体解答过程如下：

设第n年新建住房面积为bn，则根据题意易知数列{bn}为首项为400、公比为1.08的等比数列，即bn=400×1.81n-1，根据题意有an＞0.85bn，即50n+200＞400×1.81n-1×0.85，化简得到n+4＞6.8×1.81n-1，此式说明当n=5时，an＜0.85bn，当n=6时，an＞0.85bn，由此可知到2013年年底，当年建造的中低价房的面积占建造住房总面积的比例首次大于85%。

通过以上两个可以看出，应用等比数列模型解题的关键就在于理解清题意，尤其是隐含等比关系的关键性条件，进而将情境语言转为数学语言，构建等比数列最终解得答案。等比数列模型的应用通常与方程或不等式知识结合在一起，通过题意中包含的数量关系列出方程或不等式，进而求取相关量的值或范围。

上面案例一是与方式知识结合，求取的量包含在数列项的表达式中，案例二是与不等式知识结合，求n的取值范围，代表了两种基本的情形。一般来说，初中阶段等比数列模型的应用较为简单，上述的两个案例具有较强的代表性。

三、结语

综上所述，本文首先对核心素养背景下初中数学等比数列模型的应用进行了简要概述，而后重点探讨了两个具有代表性的实际案例。作为初中数学中的重要模型之一，等比数列模型的应用是一个兼具深度和广度的课题，一线教师应给予其足够重视，并在日常教学中积极渗透模型思想，使学生在应用等比数列模型的过程中促进数学建模素养的发展。