提升学生的数学核心素养：深度思考的视角

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(太湖高级中学,江苏 无锡 214125)

《普通高中数学课程标准(2017版)》(以下简称《新课标》)明确数学教育承载着落实立德树人的根本任务.发展素质教育的功能，要以学生发展为本，培育学生科学精神和创新意识，提升学生的数学学科核心素养.数学学科的核心素养包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析.郑毓信教授认为，数学核心素养的基本内涵在于：我们应当通过数学活动帮助学生学会思考，并能使他们逐步学会想得更清晰、更深入、更全面、更合理.波利亚也强调数学教育的主要目的之一是发展学生解决问题的能力，教学生学会思考.因此教学生“怎么思考”“怎么深度思考”是数学教育的首要任务.

深度思考是一种特殊的思考方式，它能帮助我们透过事物的表象直抵核心.心理学上把直接获取到的信息称之为现象，现象与一些知识相互关联，进行分析得到产生这种现象的原因，这是基本思考.如果将这个原因与别的因素相互关联，就能得到产生现象的深层原因，这种深入分析的过程即为深度思考.深度思考的方法有：特殊化与一般化、直观化与具体化、关联化以及多角度化等.如何在课堂教学过程中引导学生深度思考，笔者进行了反复的尝试，现将实践过程整理如下，以期抛砖引玉.

图1

1 思考的特殊化与一般化

本题的一般解法是：设点P的坐标，利用点P的坐标表示四边形ABNM的面积，最终求得结果.得到面积为2后，笔者继续追问，引导学生进一步思考.

师：同学们，老师在几何画板中演示点P的变化，大家注意观察四边形ABNM的变化.

(笔者拖动点P向左顶点移动，又向下顶点移动.)

师：你们看到四边形如何变化?

生1：点P向左顶点移动时，四边形ABNM慢慢变成一个三角形.同样地，点P向下顶点移动时，四边形ABNM也将成为一个三角形.

师(追问)：面积2是怎么得到的？

生1：极端情况是三角形面积等于长半轴的长度与短半轴长度的乘积.

生2：ab.

师：若将椭圆改为圆x2+y2=r2，其他条件不变，那么四边形ABNM的面积又为多少？

生3:r2.

师：正确，证法也是相同的.这说明在解题时，我们可以利用特殊情形、特殊位置，先猜测出答案，再证明，进而一般化.

通过例1，引导学生思考，教师要先让学生学会观察，观察是思考之始，从特殊情形、极端情况入手，特殊中蕴含一般，特殊化就是把研究对象从原有范围缩小到较小范围或个别情况，甚至是极端情形来考察和探究.同时也要求学生能够用归纳的方法发现数量或图形的性质和关系，培养学生的逻辑推理能力.解决具体问题后，教师可引导学生放宽制约条件、扩大对象范围、去掉细枝末节，将个性的问题一般化，运用数学的概念、规则、推理和论证，提炼出一般的概念,从而提升学生的数学抽象能力.从特殊到一般，教师要引导学生学会“退”，以退为进，数学家华罗庚认为：解决问题要善于退，退到简单而不失重要的地方，先解决特殊问题，再以退为进，解决一般性问题.当然退与进需不失“重要性”和“一般性”，如上述例1，若将椭圆改为双曲线，四边形的面积将不再是定值.

2 思考的直观化与具体化

数学中的一些问题复杂且抽象，如果在教学过程中能运用具体事例来揭示其含义，那么可以将学生的思维直观化、具体化，提升学生的数学直观想象素养.

本题是一道压轴题.学生反映看不懂问题，也不知道从何入手.笔者在讲解本题前，先让学生思考两个容易的问题(以下预备问题1和预备问题2)，以期打开学生的思路.

预备问题1(x2+x+y)5展开式中x5y2的系数为______.

本题的目的是引导学生将三项式展开问题转化为二项式展开问题，即将问题转化为曾处理过的熟悉问题.

本题的目的是利用算两次的思想，将证明等式问题转化为求(1+x)2n=(1+x)n(1+x)n中xn的系数问题，为问题直观化提供线索.课堂简录如下:

师：从等式(1+x)2n=(1+x)n(1+x)n思考.

师：右边呢？

师：很好！如果从被选中的男人人数来看，还可以怎样理解？

生6：可能选0男n女，也可能选1男n-1女，……,n男0女.哦，我明白了，这就可以构造出组合恒等式.

生(众生小声嘀咕)：是不是依然与(1+x)2n中xn的系数有关？

师：谁能说说？

师(引导)：左边的式子中有2n-2r，怎么才能出现呢？

(过了一会，依然无人回答.)

师(提示)：(1+x)2n=(1+x)n(1+x)n，还可写成什么样的形式？

生7：是不是(1+x)2n=(1+2x+x2)n？

师：怎么解释？

生8：将三项写成两项[(1+x2)+2x]n，其通项为

(学生欢呼雀跃起来.)

师：能不能用具体事例来揭示呢？有n对夫妇参加某聚会，该聚会中有一项游戏需要选n人参加，该怎么选呢？

生9：因为有2的次方，能不能这样看，总共有多少对夫妇被选中？

师：能说得具体一些吗？

师：太棒啦！

从例2可看出，对于比较复杂的抽象问题，学生往往一筹莫展，教师应选择简单而有效的事例打开学生的思维；学生理解后，再引导学生从直观角度，用形象的例子来促进学生的理解，引导学生将思考具体化.日本著名数学家小平邦彦认为“理解数学相当于观察数学”[1]，这里的观察不是“用眼睛看”而是通过一定的感知去把握数学.《新课标》认为重要的结论都是“看出来的”，会看需要直观想象素养，在教学过程中教师应设计教学情境让学生通过数学结论的直观背景揭示结论的本质，提升学生的数学抽象、直观想象及逻辑推理素养.笔者认为这种把握抽象的感觉就是将抽象直觉化、直观化，学生若能直观把握则必能理解.

3 思考的关联化

本题用数学归纳法容易证明.知其然，要知其所以然，证明后，笔者打算和学生继续探索等式是如何被发现的.

师：这个等式是怎么发现的呢？

生10(马上举手)：我知道.利用

可得到n(n+1)(n+2)，将它们加起来就是要证的等式.

师：说得非常好！由这个想法我们可以得到

n(n+1)(n+2);

(n-1)n(n+1);

…

然后累加上述等式即得所证命题.上述是利用升幂及累加相消求和，若要求12+22+32+…+n2，怎么办呢？

生11：与例3相似，想办法得到n2.

师：怎么才能得到n2呢？

生11：利用n3-(n-1)3=3n2-3n+1，然后累加即可.

师：非常好!那如何求13+23+33+…+n3呢？

生(众)：一样的，利用n4-(n-1)4，借助12+22+32+…+n2即可.

(这时，有人举手.)

师：观察能力很强！能说说你的发现吗？

生12：连续n个数相加，那个分母是2；相邻3个数依次相乘，然后前n个数相加，分母是4，因此我猜测

师：观察到的结果很有意思，猜测正确吗？谁能解释一下？

(过了一会，无人回答，笔者提示利用组合数思考.)

生13：老师，可能是这样的：

(此时班级一片沸腾.)

师：正确，非常好！那么1×2×3+2×3×4+…+n(n+1)(n+2)怎么用组合数改写呢？

师：漂亮！

波利亚曾形象地指出：“好问题同某种蘑菇有些相似，它们都成堆地生长，找到一个以后，你应当在周围找找，很可能附近就有好几个.”通过例3笔者认为：促进学生深度思考，教师要引导学生关联化思考，要让学生想一想为什么是这样而不是那样，它成立的理由是什么.有了前因，教师还要引导学生思考后果，即从这个问题或者命题我们能得到什么结论、获得哪些活动经验，并思考这些结论或者经验怎样用到问题解决中去.思考的关联化可使学生理解相关概念、命题、定理之间的逻辑关系，建立起网状的知识结构，培养学生的逻辑推理能力.

4 思考的多角度化

例4[2]将集合{1,2,3,…,n}(其中n≥2)中的元素作全排列，使得除最左端的数之外，对于其余的每个数k，在数k的左边某个位置上总有一个数与k之差的绝对值为1，那么满足条件的排列个数为______.

本题有一定难度，要想解决该问题，就要找准某个角度，从这个角度出发，认真分析题目的内涵，通过观察、联想、类比，从特殊出发，找出解题路径.课堂简录如下:

师：本题的关键是“从第二个数开始，每个数k的左边某个位置上总有一个数与k之差的绝对值为1”，这一条件的表述比较抽象，需要认真思考.

师：如果一时没有办法“看透”此条件，可先从最简单的思考，利用枚举的方法得到当n=2,3,4时的情形.

(过了一会，学生得到答案，笔者进行板书.)

对集合{1,2,3,…,n}，满足条件的排列个数记为An.

1)当n=2时，数列“1,2；2,1”都满足题意，此时A2=2.

2)当n=3时，数列“1,2,3；2,1,3；2,3,1；3,2,1”都满足题意，此时A3=4.

3)当n=4时，数列“1,2,3,4；2,1,3,4；2,3,1,4；3,2,1,4；2,3,4,1；3,4,2,1；3,2,4,1；4,3,2,1”，此时A4=8.

师：从以上3种情况能猜测出一般情况吗？

生(众)：当n=k时，可能是Ak=2k-1.

师：从简单的情形可以观察到什么？

生14：我发现满足数列的末项是最大数或最小数.

师：那么如何利用这一规律呢？

生14：将1,2,3,…,n所满足条件的数列添加n+1，形成新数列，新数列满足条件，共An种；2,3,…,n,n+1所形成的满足条件的数列共An种，将1添加其后形成新数列，新数列也满足题意.

师：很好！我们就得到An+1=2An，且A2=2，解出An=2n-1(其中n≥2).考虑末项，得到递推关系.还有别的吗？

生15：考虑最大项.n+1出现在首位或末尾.若出现在首位，其后面的数只能由其余的数从大到小排列，只有1种情况；若出现在末尾，满足题意的数列个数与1,2,3,…,n满足的个数相同，共An种情况.

师：若n+1出现在第2位呢？第3位呢？第i位呢？

生15：若n+1排在第i位，则其后的(n+1)-i位置只能是n+1-i，(n+1)-(i+1)，…，2，1，而它之前的数只能是(n+1)-i+1，(n+1)-i+2，…，n，共有Ai-1种排法.

师：生15从最大项的角度思考.令i=1,2,3,…,n+1,则An+1=1+A1+A2+…+An=(1+A1+A2+…+An-1)+An=2An.

例4从两个不同的角度观察出不同的规律，抽象出更一般的方法，得到不同的解决方案.教师引导学生从多维度进行思考，转换自己的视角，尝试从另一个角度去观察目前正在研究的事物，这样看待问题更加全面，更能触及问题的本质.课堂中学生在特例的基础上归纳数学命题，将数学命题推广到更一般的情形，形成和锻炼学生的数学抽象能力.多角度思考问题也使学生在综合情境下，运用数学思维进行分析，发现情境中的数学关系，也锻炼了学生的数学表征能力和数学建模能力.

本文从思考特殊化与一般化、直观化与具体化、关联化以及多角度化等4个方面引导学生深度思考，其最终目的是促进学生思维能力的发展，让学生会用数学眼光观察世界、会用数学思维思考世界、会用数学语言表达世界[3].在教学实施前后，教师要创设教学情境，启发学生思考，促使学生把握数学内容的本质，引导学生感悟数学的科学价值、应用价值、文化价值和审美价值.如何引领学生学会思考是高中数学教学的首要任务，深度思考更是将学生的思维层次提到了更高阶段，对课堂思维参与提出了更高的要求.史宁中教授认为：“教会学生思考”最好的办法是“和学生一起思考”,那么深度思考更是要求教师和学生共同“思考”.