几何条件的组合与转化——一道习题解法之深度理解

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(温岭中学,浙江 温岭 317500)

《普通高中数学课程标准(2017版)》(以下简称《新课标》)指出：平面解析几何通过建立直角坐标系，借助直线、圆与圆锥曲线的几何特征，导出相应的方程，用代数的方法研究它们的几何性质，体现形与数的结合；再运用代数方法进一步认识圆锥曲线的性质以及它们的位置关系,运用平面解析几何方法解决简单的数学问题和实际问题，感悟平面解析几何中蕴含的数学思想[1].

为了突出“用代数的方法解决几何问题”这一数学思想，一线的教师们也煞费苦心.编制或选择一些代数运算量较大的问题，于是“计算量大”就成了解析几何的另一个代名词，也成为许多学生学不好解析几何的借口.解析几何之难真的在“计算量大”上吗？

1 问题

图1

学生解法1片段设直线AB的方程为y=kx+1，与椭圆方程x2+4y2=4联立可得

x2+4(kx+1)2=4，

从而

从而BC的中点为

学生的疑惑：该解题思路很常规，为什么运算量如此之大？两个极大值f(k1)与f(k2)之中哪个为最大值呢？

学生解法2设B(x1,y1),C(x2,y2)，BC的直线方程为y=kx+b，与椭圆方程x2+4y2=4联立可得

(1+4k2)x2+8kbx+4b2-4=0，

从而

Δ=16(4k2+1-b2).

因为AB⊥AC,所以

x1x2+(y1-1)(y2-1)=0，

2 问题的完善

上述解答中，如此繁复的计算学生都能无误，说明该学生的运算能力比较强.那么解法1能不能解决问题呢？

解法1补充因为k1k2=-1，k3k4=-1，从几何角度看

f(k1)=f(k2)，f(k3)=f(k4).

由k1,k2,k3,k4是方程4k4-33k2+4=0的根，知

3 反思

解题时我们应该有这样的意识：没有任何一个题目是彻底完成的，总还会有些事情可以做，如果对问题进行充分地研究和洞察，就可以将解题的方法加以改进，从而深化对问题的理解.

3.1 命题者的意图

上述两种解法的运算量有着天差地别，解法1虽然常规，但计算量如此之大，显然不是命题者的意图.众所周知，解析几何是用代数的方法解决几何问题，因此首先要将几何条件代数化，然后才是代数运算.也就是说，转化是前提，运算是基础.解析几何问题不仅考查运算求解能力，还要考查转化化归能力.

3.2 不同解法的本质原因

3.3 常见几何对象

纵观浙江省近几年的解析几何高考题，考查的几何对象有：1)位置关系类，2017年和2018年考查了直线垂直，2015年考查了线段平分，2012年和2015年考查了对称问题，2016年考查了曲线相交，2014年考查了直线与曲线相切，2011年考查了特殊的三点共圆；2)度量关系类，2017年考查了线段长度问题，2012年、2013年、2015年和2018年考查了三角形面积问题.因此掌握不同几何对象的代数转化是必要的，这是运算的前提.

图2

3.4 几何条件代数化的特点

(2017年浙江省数学高考理科试题第21题改编)

1)几何条件代数化的多样性.

目标|PA|·|PQ|需要转化为坐标表示.若借助两点间距离公式

则|PA|·|PQ|的表示就需要知道点P,Q,A的坐标；若将公式等价变形为

分析1为了目标和已知的统一性，可选择长度的代数化方式为

垂直的代数化方式是两条直线的斜率为负倒数.

|PA|·|PQ|=-(k-1)(k+1)3.

令f(x)=(1+x)3(1-x)，其中-1

f′(x)=(1+x)2(2-4x),

分析2若BQ⊥PQ的代数化形式为

|PB|2=|BQ|2+|PQ|2，

则|BQ|的代数表示为点B到直线AP的距离，|PB|为两点距离.

|PQ|2= |PB|2-|BQ|2=

|PA|2=(k2+1)(k+1)2,

从而

|PA|·|PQ|=(1-k)(k+1)3.

下同解法1.

2)几何条件代数化的可组性.

几何条件的代数转化并不一定是孤立地将每个条件转化，也可以将相关的几何条件进行组合转化，通常结合的条件越多，转化越巧妙，计算越简单，不同的组合方式也会得到不同的解答方法.

分析3因为点A,P,Q在同一条直线上，即∠APQ=180°，所以

知道点P,Q,A的坐标就可以求解.

(1+k)3(k-1),

于是

|PA|·|PQ|=(1+k3)(1-k).

下同解法1.

分析4解法3最大的运算量就是求交点Q的坐标，结合点Q为垂足的特点，转化为与之相邻的点P,B的坐标，就较为简单，因此可转化为

从而简化运算.

解法4设P(x,x2)，则

f′(x)=-4x3+3x+1=-(x-1)(2x+1)2,

故

图3

如图3，取AB的中点M，则

而直线AB的方程为

即

4x-4y+3=0,

下同解法4.

|PA|·|PQ|=

下同解法4.

从上面的解法3～6中可以发现，不同的代数化方法是解析几何一题多解的根源，也是解析几何繁复多变的根源.因此掌握几何条件代数化的方法就是掌握解析几何解题的命脉.

4 结束语

再次回味《新课标》中关于解析几何的两句话：1)用代数的方法研究它们的几何性质，体现形与数的结合，因此需要将几何条件转化为代数条件，然后用代数的方法进行研究，最后将代数结果转化为几何条件，这就是解析几何问题解决的三步曲：转化—运算—转化；2)运用平面解析几何方法解决简单的数学问题和实际问题，感悟平面解析几何中蕴含的数学思想，体会数学思想是教学的目的，因此大计算量并不是《新课标》的本意，教师与学生无需为大运算量花费大量的时间与精力，“如何转化、怎么巧妙转化”是研究的重点.