基于多目标模拟预算最优分配的飞机维护计划*

钟 麟，佟明安，张 健，樊庆强

（1.西京学院理学院，西安 710123；2.西北工业大学，西安 710072）

0 引言

由于飞机型号、老化程度以及工作环境的不同，大批飞机的维护是一项复杂的系统工程[1]。飞机的维护活动是费时的，维护资源也是受限的。通常情况下，为了确保飞机的安全和高可用性，需要合理安排维护活动。文献[2]利用预测信息对维护计划进行优化。文献[3-4]在有限资源条件下利用遗传算法处理民用飞机的维护问题。文献[5]利用增强学习求解飞机维护排程问题。不过它们都没有涉及实际维护工作中的不确定性以及多个目标优化情况。文献[6]用模拟退火算法和蚁群算法求解飞机维护排程问题，但效率和精度都不高。针对这个问题，本文将多目标模拟预算最优分配算法和偏好规划引入到飞机维护研究中。

1 基本思想

制定飞机的维护计划，就是排程问题。在排程问题中，根据飞机的状态分别安排一些飞机执行飞行任务、日常维护或修理。在排程过程中，每架飞机都赋予一个优先权，优先权可以根据剩余的飞行小时数和距离下一次维护行动的时间计算获得，而赋予最高优先权的飞机将承担飞行任务。如果飞机飞行小时数满足如下两个条件之一，就需要进行日常维护：1）飞机的飞行小时数达到维护区间的上限；2）飞机的飞行小时数达到维护区间的下限，维护规定开始时间到达，所需维护资源够用。另外，如果飞机在执行任务中损伤，则立即进行维修。假定有3种不同类型的维护、维修的设施，根据维护或维修需求不同，将飞机送往不同设施进行排队，整个队列顺序遵从先进先出的模式。维护时机、维护的持续时间以及任务的持续时间概率分布可以从历史数据中获得。

图1 基本思路的示意图

本文所提出方法的基本思路如图1所示。整个模型分为优化阶段和决策阶段。在优化阶段中，决策者确定问题的仿真参数，并形成输入提供给随机模拟模型。随机模拟模型主要作用是产生候选解的目标函数样本，并把它作为输出提供给偏好多目标模拟预算最优分配模型。偏好多目标模拟预算最优分配模型根据决策者提供的偏好信息和目标函数样本，计算出模拟预算，并将其传输给随机模拟模型，同时每一次操作后都要将候选解传输给随机模拟模型，用于判断是否为可行解。偏好多目标最优模拟预算分配算法最终目标是获得成对非支配解，并将其作为偏好规划模型的输入用于决策。在决策阶段中，偏好由决策者提供给偏好规划模型，偏好规划利用偏好信息和成对非支配集确定偏好成对非支配解，并将其作为输出提供给决策者选择。模型中偏好不确定性和目标函数值用区间分析方法进行建模。

2 飞机维护计划模型

在大机群作战飞机的维护排程问题中，决策变量、性能指标和可行区域表示如下：

决策变量xi，j表示飞机i第j项维护活动的开始时间，则M架飞机的维护安排可以用X=（x1，1，…，x1，n1，…，xM，1，…，xM，nM）表示，这里 ni是维护计划中飞机i所能安排最大维护行动数目。飞机的平均可用度和计划维护行动与实际维护行动时间的平均偏差作为评价维护计划优劣两个指标，分别用YA（X，ω）和YD（X，ω）表示，其中ω表示系统随机因素。

在T天内M架飞机的平均可用度可以用下面的公式计算：

在定义 YD（X，ω）时，假设 B（X，ω）表示在规划周期内飞机i实际开始维护活动j所对应的指数（i，j）可行集合，为飞机i计划开始维护活动j的时间，则为不可行集合。则YD（X，ω）可以由下面的公式计算：

其中，nk为k架飞机在T天内所需要维护的次数，公式的第1项表示计划维护时间与实际维护时间的偏差，公式第2项是未在可行时间内实施维护活动情况下加入的惩罚项，C为决策者设定的时间常量。

飞机的维护排程问题为

可行排程受限于3个约束集合：

式（4）的第1个约束表示维护时间应该为正整数，第2个约束表示维护行动按特定顺序进行，第3个约束表示维护决策者因实际的需要，希望在特定时间窗（time window）安排某些行动，比如为了在特定的某段时间内需要保证飞机可用，因此，上界ui，j和下界li，j也要考虑到模型中。

3 偏好多目标模拟预算最优分配模型

利用随机仿真的方法可以容易获得各方案的期望效用，常规方法是将其转化为排序和选择问题，采用模拟预算最优分配算法确定绝对非支配的方案[7]。为了提高效率和精度，在本文中所涉及的模型中，在优化阶段就引入不完全偏好信息，改进多目标模拟预算最优分配算法，提出了偏好多目标模拟预算最优分配算法。

假定排序和选择问题的最优方案或包含最优方案的子集可以通过若干个相互冲突的期望指标确定，即

发展部以与呈示部相同的主题材料展开。进入C大调，然后是沿着五度循环的一系列转调：F大调（第116小节）、降B大调（第124小节）、降E大调（第126小节）、降A大调（第128小节）。到达降A大调之后，通过左手的还原E音转入f小调，而这个和弦正是乐章开头的调式音阶的Ⅱ级，它坚持不懈地重复了七个小节之后，水到渠成地进入再现部。

其中，ul为第l个单属性效用函数，wl为权重。在这种情况下，成对支配的定义如下：

假设方案i在可行权重集合W极值点wm（m∈{1，…，M}）上的期望效用 Uim可表示为：

则R&S问题可以表示为：

定理1 假定方案的效用可以根据式（6）获得，可行权重通过线性等式和不等式定义。如果方案i是问题式（7）的Pareto非支配方案，则方案i也是成对非支配方案。

证明：如果方案i是问题式（7）的Pareto非支配解，则不存在方案j满足

则这使下面公式成立

也就是方案i是成对非支配方案。

方差计算公式为：

下面给出偏好多目标模拟预算最优分配具体算法：

1）确定每一个单属性函数 ui，i=1，…，n，确定权重w的可行区域以及它的极值点{w1，…，wn}（计算方法见文献[6]）；确定计算资源T，也就是可行仿真次数；确定每一次迭代增加最大仿真总量Δ，单个方案一次迭代所分配最大仿真次数δ，每一方案最初分配的仿真次数m0，迭代计数j→0。用表示第j次迭代后k方案实施仿真的总次数，每个方案实施 m0次仿真，即，…，n，用 ak表示分配给第k个方案的计算预算；

5）对于每一方案k判断是否满足成对非支配方案的条件，选择出成对非支配方案组成成对非支配方案集合。

在优化阶段往往获得多个成对非支配解。在实际应用中，决策者希望解越少越好，最简单的方式是将各个目标函数进行加权求和，然后对此进行单目标优化。可是在应用中，经常只有少量偏好信息。针对这种情况，本文在决策阶段采用偏好规划方法，优化阶段获得的非成对支配解的目标函数和偏好的不确定性用区间形式表示，运用决策准则获得最优方案，具体算法见文献[8]。

4 仿真

假设有18架同型号的飞机，可行维护窗口为[40，60]（飞行小时），飞行任务间隔时间服从Expo（0.8）的指数分布，飞行任务周期服从 Norm（0.8，0.2）的正态分布，维护周期服从Gamma（2.5，40）的伽马分布，故障间隔时间服从Expo（12）的指数分布，故障修复时间服从Gamma（2，4.5）的伽马分布，维护容量为3架飞机，维护期望周期为2.5 h。系统采样次数为L=50，成对非支配集合最大规模N=20。假定决策者认为日期偏差不如飞机可用度重要，即w1≥w2，而且权重的下界不低于1/3n=1/6（n为目标的数量）。

图2 正确选择的概率与模拟预算关系

算法的性能可以通过正确选择非支配组合或成对非支配组合的概率来评估，而非支配组合和成对非支配排程组合通过大数量的仿真获得。图2描述了多目标模拟预算最优分配算法、偏好多目标模拟预算最优分配算法以及模拟预算平均分配算法的正确选择概率与仿真预算的关系。从图2中可以看出，偏好多目标模拟预算最优分配算法在大多数情况下优于多目标模拟预算最优分配算法，也优于模拟预算平均分配算法。如果在多目标模拟预算最优分配算法中直接使用成对支配的概念，从图2可以看出正确选择的概率随着仿真资源增加，仍然保持在低位，性能不理想。图3描述了偏好多目标模拟预算最优分配算法分配给每一组合的仿真次数，整个模型共有124个可行组合解，其中有8个成对非支配解（序号分别是 17，34，55，59，61，97，101，119）。从图3中可以看出最大仿真次数分配给组合34，而一些成对非支配组合分配的数量非常少，这与模型的不确定性以及算法为了最大化正确选择的概率有关。偏好多目标模拟预算最优分配算法获得成对非支配组合是8个，而多目标模拟预算最优分配算法获得非支配组合是18个。在相同计算资源情况下，采用本文提出方法用于决策的组合数目减少了一半，如果组合数量很大的情况下，本文提出的方法优势更加明显。

图3 分配给每一组合仿真次数的平均值

图4 多目标决策结果

多目标决策仿真结果见图4。图4描述了8个成对非支配解，两个目标的平均值的取值范围分别为，。如果单独一个目标进行优化，可用度可以达到0.823 9，而日期偏差可以达到3.43 h。假设决策者认为飞机可用度比日期偏差更重要，同时权重的下限不低于1/3n=1/6（n为目标的数量）。从图4可以看出，采用乐观准则和中间值准则，决策结果选择第2个组合，采用悲观准则，则选择第3个组合，实际应用则根据决策者的偏好决定。分别要求5个不同的维护决策者手工制定维护计划，它们总指标分别为[0.458，0.571]，[0.482，0.554]，[0.313，0.507]，[0.381，0.538]，[0.349，0.494]，都不如本文所制定的计划。

5 结论

本文提出的模型是用于解决多目标排程问题。模型分为优化阶段和决策阶段。在优化阶段，引入决策者的偏好信息，采用偏好多目标模拟预算最优分配算法产生成对非支配解，决策阶段采用多属性决策模型和偏好规划模型从成对非支配解中确定偏好非支配解。仿真结果说明了该方法的有效性。