为几例三角函数问题的求解『把脉』

■冯克永

三角函数在高中数学中处于知识与方法的交汇点，在高考中占有一定的比例。因此三角函数的学习，对掌握整个高中数学的基础知识和基本技能有着重要的作用，但是，由于种种原因，同学们在解决这类问题时，常常出现一些“病解”，现列举几例，加以“诊断”，以便引起大家的注意。

例1若α∈ （0，2 π），求 使成立的角α的集合。

错解：由题意可得cosα≠±1，所以sinα＞0，故α∈（0，π），即满足题意的角α的集合为{α|0＜α＜π}。

剖析：上述解法对形如的理解有误。

当“分子相等，分母相等”时，忽视了“分子为零，分母可以不相等”的情况，即漏掉了当cosα=0时或的情况。故满足题意的角α的集合为或

例2已知且α，β∈（0，π），求2α-β的值。

错解：由题意可得tan 2（α-β）=可得|sinα|=sinα，可知由2α-β=2（α-β）+β，可得=1。因为α，β∈（0，π），可得2α-β∈（-π，2 π），所以或或2α-

剖析：上述解法把2α-β的取值范围扩大了。只有通过题设条件，把所给的角缩小到尽可能小的取值范围内，才能使角的功能突出，这样可避免出错，彰显解题的魅力。

又2α-β=2（α-β）+β，所以=1，故

例3若sinx+sinz，求y=sinz-cos2x的最大值。

错解：由，可得，所以-sinx-cos2x=

因为-1≤sinx≤1，所以当sinx=-1时

剖析：上述解法虽然利用了正弦函数的有界性，但忽视了条件中正弦函数的有界性对sinx的限制作用。由，可得，可知