三角恒等变换与函数最值的综合问题

■赵 昆

三角函数的最值问题有两大类型：一是通过恒等变换，转化成一种三角函数，如y=Asin（ω x+φ）的形式，再借助三角函数的有界性、单调性求出最值；二是通过恒等变换，转化成同名、同角的三角函数的平方式，如y=asin2x+bsinx+c的形式，再利用二次函数求最值。

一、化成f（x）=Asin（ω x+φ）+b型

1.借助两角和与差的公式求最值

例1已知函数求函数f（x）在区间上的最大值和最小值。

解：f（x）=sin 2xcos

评析：函数f（x）=Asin（ω x+φ）+b在给定区间上的最值问题，一般通过换元法，令t=ω x+φ，由x的取值范围求出t的取值范围，这样问题就转化为y=Asint在给定区间上的最值问题，然后借助正弦函数的图像，即可求出函数的最值。

2.借助降幂公式求最值

例2求函数f（x）=sin2x+2 sinx·cosx+3 cos2x，x∈R的最大值。

解：f（x）=sin2x+2 sinxcosx+3 cos2x=1+2 sinxcosx+2 cos2x=2+sin2x+

由x∈R，可知当时，函数

评析：利用降幂公式和二倍角公式先把角统一，然后通过辅助角公式化成一个角的三角函数求最值。如果题中给出了x的取值范围，要注意x取何值时，函数取得最值。

二、化成一元二次函数在给定区间上的最值问题

1.利用同角三角函数的平方关系求最值

例3求函数f x（）=2 sin2x+2 sinx-的最值。

解：令t=sinx，则

故函数f x（）在上的最小值为1，最大值为

评析：函数y=asin2x+bsinx+c，x∈D的最值问题，通过换元，令t=sinx，将所求问题转化为一元二次函数在给定区间上的最值问题，再借助一元二次函数的单调性求最值。

2.利用cos 2x与sin2x的关系求最值

例4求函数f（x）=2 cos 2x+sin2x-4 cosx的最值。

解：f（x）=2（2 cos2x-1）+（1-cos2x）-4 cosx=3 cos2x-4 cosx-1。

令t=cosx，则t∈[-1，1]，所以所求问题可转化为函数y=3t2-4t-1在t∈[-1，1]上的最值问题。

由一元二次函数的单调性可知，当t=-1时，此函数取得最大值6；当时，此函数取得最小值

评析：借助二倍角公式化成一种三角函数，再通过换元法，将所求问题转化成一元二次函数在给定区间上的最值问题求解。

3.利用sinx+cosx与sinxcosx的关系求最值

例5求函数f（x）=2a（sinx+cosx）-sinxcosx-2a2（a＞0）的最值。

解：令t=sinx+cosx，则t=且

故y=2a（sinx+cosx）-sinxcosx-

评析：令t=sinx±cosx，把所求问题转化成关于t的一元二次函数，然后利用一元二次函数的单调性求最值。当然，sinx±cosx与sinxcosx的关系也可以是（sinx+a）（cosx+b）的形式。