聚焦本质 优化路径 促进建模——《植树问题》教材解读与教学建议

朱 宇

《植树问题》是人教版小学数学五年级上册第七单元“数学广角”的内容，包括3 个例题和15道习题，着重研究生活中有关间隔现象蕴含的规律。通过本单元的学习，学生能充分经历观察、猜测、验证、推理等数学活动，初步体会解决植树问题的思想方法，经历数学模型建构过程，积累数学活动经验，提高解决实际问题的能力。

一、教材变化点

《植树问题》存在变量多、情况复杂、抽象水平高等诸多因素，因此，考虑到学生的认知水平与理解能力，新教材将原四年级下册“数学广角”中的《植树问题》推延至五年级上册。

1.题材更加鲜活。

为了激发学生的探究兴趣，获得更加深刻的建模体验，新教材保留了原教材“直线上的植树问题”（例1、例2），“封闭曲线上的植树问题”（例3），又进一步充实了模型运用的实际问题，增加了“马拉松比赛设置饮水点”“项链上的水晶”等新颖有趣的实际问题。有效激发学生探究欲望，帮助学生多角度体会和运用植树问题的数学思想方法。

2.突出画图策略。

《植树问题》最重要的数学思想就是模型思想，让学生从实际问题中抽象出数学模型的过程是教学难点。教材突出了线段图的作用，通过几何直观帮助学生理解不同情况下植树棵数和间隔数之间的关系，逐步建立植树问题的数学模型。从形象的线段图开始，抽象出表示两端都栽与两端都不栽的线段图，最后尝试画出封闭曲线上植树的线段图，并与“一端栽另一端不栽”的情况相关联。

二、年段衔接点

《植树问题》实际上是一类数学问题的形象说法，通过点与段之间对应关系的探索，从本质上完成数学模型的建构与理解。本课的教学并不是只让学生会解决与之类似的实际问题，而是把解决植树问题的过程作为渗透数学思想方法的一个支点，为第三学段数学思想方法的进一步学习奠定基础。

从广义角度讲，数学的概念、定理、规律、法则、公式、性质、数量关系式、图形、图表、程序等都是数学模型。如“部分+部分=总量”“每份数×份数=总数”这两个结构，就是小学数学中最基本的加法模型和乘法模型。从本质上说，《植树问题》属于乘法模型，与“段数×段长=总长”这一基本数量关系有关。这个模型也适用于安装路灯、敲钟、锯木头等问题，这些具体问题事实上都有着相同的数学结构。

三、疑难问题与策略建议

1.怎样以“一一对应”的思想统领？

本课教学的最终目的并不只是让学生认识规律，而是寻找规律产生的原因，建立“一一对应”的思维方式。教学中不必过于强调“两端都种”“只种一端”与“两端都不种”这三种情况的区分，而应该突出“一一对应”的思想，为学生提供主动探索的机会，并尝试用“一一对应”的方法说明棵数和间隔数的对应关系。

策略与建议：

（1）化繁为简。根据信息和背景材料对问题进行必要的简化，重点关注对关键字词的理解，如“全长100 米的路的一边”“每隔5 米”“两端要栽”等。在此基础上，把现实中的“树”和“间隔”抽象看成“点”和“段”。在研究策略的交流中，学生感受到100 米太长了，主动提出可以将100 米缩短成10米、20米进行研究。

（2）聚焦本质。教学中紧紧抓住植树问题的本质即对应问题进行教学。当树和间隔一一对应，棵数与间隔数一样多（封闭图形中棵数和间隔数正好一一对应）；当树和间隔一一对应，最后还多出一棵，这时棵数就比间隔数多“1”；当间隔和树一一对应，最后树没有了，而间隔还有一个，这时树比间隔少“1”。需要说明的是，此对应思想还可以由“一对一”辐射到“一对多”的情况。

（3）画图表征。“点—段”一一对应：画一“点”再画一“段”；或者“段—点”一一对应：先画一“段”再画一“点”。依此重复，直至达到要求的长度。同时引导学生比较“一一对应”中完整与不完整的两种情况：当完全对应时，点与段的数量相等；当不完全对应时，先出现的物体多“1”。学生借助线段图和“一一对应”的方法进行验证，得出结论。再据此追问：如果小路延长到500 米、5000 米、50000米，还是两端都栽，棵数和间隔数又有什么关系呢？根据规律进行想象、推理活动，让模型逐步清晰起来。

2.怎样借助线段图促进模型建构？

本单元教学建议中明确指出，要用线段图帮助学生思考，发展学生的模型思想。用线段图促进模型建构，对于学生来说存在较大的难度。

策略与建议：

（1）从生活现象中提炼。首先，模拟植树活动，搭建从生活原型到抽象成线段图的桥梁。再通过多媒体演示，把每一棵树都看成一个点，从最左端开始画，每隔一段距离画一个点，1 棵、2棵、3 棵……这样就形成了数学上的植树图。在线段图生成过程中，学生亲眼目睹“路的一边”“棵数”“每隔5 米”演变成线段图上的“一条线段”“点数”“间隔”，直观地认识了间隔及间隔数。

（2）在比较辨析中感悟。学生画线段图探索三种情况下的植树规律时，很多学生的思维出现混乱，特别是在一端栽一端不栽和两端不栽的情况下，不知道怎样画棵数和间隔数。对此，首先要让学生亲身感受100 米画完很麻烦，尝试先研究“小数据”20 米的情况，渗透“以小见大”的方法。接着教师提出问题：在全长20 米的小路一边植树，每隔5 米栽一棵，有几种栽法？请用线段图表示出来。学生各自画图，只要符合“相邻两棵树间隔5 米”，怎么种就怎么画，想到几种情况就概括、归纳几种规律。特别提醒学生，先想一想要画几个间隔才是20 米。学生借助线段图，自主提炼出三种植树模型，并借助课件验证。

（3）在问题抽象中建模。在“描述问题—提出猜想—举例验证—发现规律—解决问题”的探索流程中，学生通过画线段图、观察线段图、想象线段图、运用线段图，把抽象的植树问题具体形象地呈现出来，再现生活中的植树原型，丰富植树问题的表象，培养想象能力和抽象概括能力，让植树问题模型根植于线段图中。最后，引导学生联系生活实际，让抽象的植树问题模型生动鲜活，发展模型思想。

3.怎样联系生活夯实模型建构？

虽然学生能理解三种情况下棵数与段数的关系，建立不同情况下棵数与段数的关系模型，但是在将模型应用于实际问题的时候，往往发生偏差。所以，我们不仅要利用观察、操作、归纳、类比、猜测、验证等方法建构模型，还要应用模型特征去解释生活中的现象，经历模型产生、发展、应用的过程。

策略与建议：

（1）自制简易模型。把手掌张开，五指四空儿，“指”表示“棵”，指与指之间的“空儿”表示“段”，表示两端都种的情况，“棵数＝段数+1”；把大拇指弯曲，四指四空儿，表示一端种一端不种的情况，“棵数＝段数”；把大拇指和小指同时弯曲，三指四空儿，相当于两端都不种的情况,表示“棵数＝段数－1”。这个直观模型还可以表示封闭路线上的植树问题。

（2）实例解释模型。模型初步形成以后，要以图片、文字等形式让学生了解生活中与植树问题相似的现象，体会现实生活中如安装路灯、摆花盆、剪绳子、排队等实际问题与植树问题含有相同的数量关系，都可以用植树问题的模型来解决。

（3）应用拓展模型。我们不能只是简单套用模型，而应通过有变式、有层次的实际问题，引领学生纵向深化、内化模型，加深学生对数学模型的理解。例如，在建立起“两端都不栽”的模型后，可以设计如下问题：两栋教学楼之间的道路全长300米，在路的两边栽树，如果每隔10米栽一棵，一共需要多少棵树苗？让学生由“两栋教学楼”联想到“两端都不栽”，达到联系生活、拓展模型的目的。也就是说，既要通过探索活动让学生建构植树问题的数学模型，又要应用模型特征去解释生活中的现象，举一反三，夯实数学模型的建构。

资料存盘

1.《植树问题》课标要求与解读。

“总目标”中提出：在参与观察、实验、猜想、证明、综合实践等数学活动中，发展合情推理和演绎推理能力，清晰地表达自己的想法；学会独立思考，体会数学的基本思想和思维方式。

“学段目标”的第二学段中提出：尝试从日常生活中发现并提出简单的数学问题，并运用一些知识加以解决；能探索分析和解决简单问题的有效方法，了解解决问题方法的多样性。

“课程内容”的第二学段中提出：通过应用和反思，进一步理解所用的知识和方法，了解所学知识之间的联系，获得数学活动经验。

教材中设置“数学广角”单元教学内容，目的不是教会学生机械的公式和抽象的模型，而是让学生体验探索建立模型的过程和数学思想方法。

2.本单元涉及的思想方法。

本单元的主要数学思想方法有：抽象的方法，数形结合思想，类比的思想，归纳猜想、分类讨论、模型、化归的方法。

3.与植树问题相关的系列问题。

由植树问题拓展的问题：环形植树问题、方阵植树问题、方阵外圈植树问题等；与植树问题类似的其他领域问题：“锯木头”中的段数与次数、“装路灯”中灯的盏数与间隔、“爬楼梯”中的楼层数与阶梯数等。