“多元”需要“多维”度

江苏省怀仁中学 王志英

众所周知，数学学习离不开解题，但若每天只进行简单粗暴的题海训练，短期内成绩可能会得到显著提高，从长期来看，同学们的思维并未得到有效拓展，所以大家不能只做题不思考，只训练不总结，同学们要学会在学习中捕捉机会，依托典型例题把自己所学的知识运用得更广泛.同学们可能会有这样的经历，碰到好题会魂牵梦绕，我们感叹它多维的解题方法，更感叹出题者的绝佳设计.同学们是否想过，解题之后稍加反思深究，你甚至可以成为一个编题高手.

【例题】已知正实数x，y满足则xy______.

分析本题是无锡市2016年秋学期高三期中测试第14题，当时的得分率较低，主要原因是无法找到此题的切入口.该题的已知条件是一个二元方程，且含有一次结构和对数结构，较为复杂.从表面看此题是一个不定方程，但从求解的结果和结构看，结论一定是有限解，即x，y的值是可以求出来的.如何求出此方程的解，显然从方程的角度寻求突破口已行不通，那不妨重新整合，从其他视角尝试解决.

思路1：不等式的角度

同学们仔细观察一下，等式的右边实质是lnxy，等式的左边也可产生xy的整体结构，但必须引入基本不等式，而x，y是正实数为基本不等式的引入提供了很好的前提.即（当时取等号），则令xy=t（t＞0），得此处换元的目的是为了消元，使得较难的二元方程变成了一元不等式.由于此不等式并不是大家所熟悉的形式，只能通过函数来求解此不等式.

方法1：设f（t）=lnt-于是则当t∈（0，1）时，f′（t）＞0，当t∈（1，+∞）时，f′（t）＜0，所以函数f（t）在区间（0，1_）上递增，在区间（1，+∞）上递减，且f（1）=0，所以则解到这儿，同学们有没有恍然大悟了，不等式竟然只有唯一解，即方程的解t=1.于是由得则

思路2：函数的角度

同学们知道方程与函数是紧紧相随的，但二元方程又如何与函数沟通？这是此题的难点.自然的想法是对x，y归类，引入两个函数.原式可整理为

方法2：令g（x）=-lnx-2，h（y）=lny-2y.仔细观察，这两个函数由基本初等函数组合而成，求导之后，结构也较为简单，所以两函数的图象很简洁.求导后发现，函数g（x）在区间（0，2）上递减，在区间（2，+∞）上递增，且g（2）=-ln2-1，函数h（y）在区间上递增，在区间上递减，且所以方程lny-2y的解为x=2，

方法3：以上两种方法，体现了函数、方程、不等式的相互转换思想，在平时的解题中，同学们经常会遇到此类题型，但此题的难点是方程含有两个元，对构建函数或不等式带来了一定的挑战.再次观察这个方程，发现原式还可变形为看到此式，有没有一种兴奋感，好像离目标不远了.此式再次微调，结构将更为漂亮：-（2y-ln2y-1），构建的函数也已浮出水面：l（t）=t-lnt-1，通过求导容易发现函数l（t）在区间（0，1）上递减，在区间（1，+∞）上递增，且l（1）=0.于是-（2y-ln2y-1）≤0，则方程中原方程得解.

反思 重新审视上面三种方法，发现最后都是通过构建函数完成此题.可能通过整体代换构建一个函数，可能通过集中变元构建两个函数.若是一个函数，则函数具有两个单调区间，而且函数零点唯一；若是两个函数，同样非常巧妙，一个函数只有极小值，无极大值，一个函数只有极大值，无极小值，且极值相等.由此，我们就可以仿照此题选取简单的基本初等函数编制题目了.

【变式】已知实数x，y满足x+y+4=ex+ey+2，则x+y=____.（答案为-2）

思路1：不等式的角度

方法1：利用基本不等式可得于是令u=x+y+2，则再令

思路2：函数的角度

方法2：令g（x）=x-ex+4，h（y）=ey+2-y.

方法3：原方程可变形为x-ex+1=-（y+2-ey+2+1），令l（t）=t-et+1.

提示到这儿，相信同学们完全有能力得出最后的答案.

反思 每个题目的背后都凝聚着出题者的智慧，当然编题并不是一件很容易的事情，但如果经常能对做过的好题反复推敲，同学们的思维就会越来越开阔，越来越灵动，从而获得受益终生的学习力.