老师，我怎么学会思考——数列篇

江苏省苏州中学 王思俭

课前课后学生总是议论着：

最近几次测验的数列题做的不好，特别是数列中的定值类问题，往往不知道如何入手；

等差数列的前n项和Sn的有关比值为常数，我也找不出常数；

等差数列的前n项和Sn的算术平方根组成的数列仍为等差数列；老师讲评试卷时说，这是一类无关思想问题，当时也听懂了，但是稍微变化又糊涂了；

数列与其他章节知识综合的问题，特别难处理，如与不等式整合的题目特别难，只好放弃；……

为此我邀请几位同学就“数列中的无关思想问题”进行交流，旨在教会学生怎样学会思考这类问题，探求这一类问题的求解规律.

生甲：已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2=3，若为常数λ，求λ的值以及an.

将n=1，2代入得出a1+a2=λa1，且a1+a2+a3=λ（a1+a2），即a2=（λ-1）a1，a3=（λ2-λ）a1.结合a2=3，求出a1，a3，再利用等差数列定义建立关于λ的方程，求出λ的值2，通项公式为an=3.

生乙：n=2时，等式列错了，因此a3求错了，应该为a1+a2+a3+a4=λ（a1+a2），利用等差数列性质a1+a4=a2+a3，因此求出再利用等差中项建立方程将a2=（λ-1）a1代入可得，λ2-6λ+8=0，解之得λ=2或λ=4.从而求出an=3或an=2n-1.

生丙：我求出a3是对的，利用等差中项时，我代入a2=3，最终搅乱了，没有算好，也就猜出λ=2，即常数数列时的情况.

教师：生甲生乙的方法可以，一是答案不全，二是过程不规范.你们仅仅对n取1，2研究，n取其他值时是否成立呢？怎么办呢？

生丙：代入检验，发现这两个值都合适.

教师：是应该检验.你们还有其他解法吗？

生丁：因为所以

②-①得到：a2n+2+a2n+1=λan+1.

因为{an}是等差数列，设其公差为d，

所以a2n+2+a2n+1=λan+1⇔（a2+2nd）+[a2+（2n-1）d]=λ[a2+（n-1）d]，

即（4d-λd）n+6-3λ+（λ-1）d=0，∀n∈N*，

所以①λ=2时，an=3.

②λ=4时，an=a2+（n-2）d=2n-1.

教师：很好！这种方法称之为无关思想，本题是恒成立问题，即关于n的恒等式，利用待定系数法求出相关的定值以及通项公式.但最好是取n=1，2得出两个方程，解方程组即可.

生戊：本题也可以再改编为：

已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a3=5，若为常数λ，求λ的值以及an.

用类似方法求得当λ=3时，an=5；当λ=9时，an=a3+（n-3）d=2n-1.

教师：很好！你们做题要学会反思、概括、提炼、推广，这样才能提高解题能力.

生丁：本题还可以推广：

已知等差数列{an}，a5=9，前n项和为Sn，对于给定的正整数m（m ≠1），使得对任意n∈N*，为常数λ，求λ的值（用m 表示）以及数列{an}的通项公式.

用上述方法可得①λ=m，an=9；②λ=m2，an=2n-1.

生戊：通过上述变题的研究可以概括出：已知公差与首项均不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，若Skn=mSn，则m=k2.

教师：完全正确！生丁与生戊的推广与概括就是2013年高考江苏卷第19题（1），由此可以看出，高考题就在平时所做的每一道题目当中.

生甲：已知数列{an}，a1=1，在an与an+1之间插入n个数，使得所插入的数和原来数列中的所有项按原来的顺序构成正项等差数列{bn}，设数列{bn}前n项和为Sn.（1）若a3=11，求bn；（2）若=bn+μ（λ，μ为常数）对一切n∈N*都成立，求数列{an}的通项公式.

我只会第（1）小题，设正项等差数列{bn}的公差为d，因为b1=a1=1，a3=b6=11，所以b6-b1=5d=11-1，所以d=2，所以bn=1+2（n-1）=2n-1.第（2）小题不会了.

生乙：我是先利用待定系数法求解，求出数列{bn}的通项公式bn=2n-1，但不知道an的位置，所以没有写出an的通项公式.

生丙：我是利用整体思想求解的，算出的通项公式是bn=n.具体过程为，由题可得，2Sn+λ=（bn+μ）2，①所以2Sn-1+λ=（bn-1+μ）2（n≥2），②

①-②得到：2bn=b2n-b2n-1+2μ（bn-bn-1），即b2n-b2n-1+2μd-2bn=0，b2n-（bn-d）2+2μd-2bn=0，2dbn-d2+2μd-2bn=0，（2d-2）bn-d2+2μd=0，对一切n ∈N*都成立.因为bn是关于n的一次函数式，由恒等式思想，可得

但我也没有找出an在数列{bn}中的位置，所以，无法求出通项公式.

生丁：根据题意，在an之前已经插入了个数，另外还有a1，a2，…，an-1，因此应该是第项.

教师：分析得很好！这样你们就可以求出数列{an}的通项公式了.你们还有什么问题？

生戊：我是这样求数列{bn}的通项公式的，设首项b1=1，公差为d，因此bn=代入已知条件即有dn2+（2-d）n+λ=（dn+1-d+μ）2，展开并比较系数可得d=d2，且2-d=2d（1-d+μ），且λ=（1-d+μ）2.当d=0时，检验不合适，当d=1时，所以

教师：答案正确！但求数列{bn}通项公式的过程不规范，应该取n=1，2，3，列出三个方程，利用加减消元法，解方程组即可.求解这类问题一定要注意解题的规范性.请看变题：

已知无穷等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sn3=（Sn）3对一切n∈N*都成立，求数列{an}的通项公式.

生丙：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，所以

教师：如果你们感觉式子很庞大，运算较繁琐，那么你们有没有想一想，是否可以整体代换呢？

研究方法主要是采用灰色关联分析法和结构变动度分析法。其中，灰色关联分析法是衡量因素间关联程度的重要方法之一，在一定程度上可以反映各影响因素与住院次均费用之间关系的紧密程度；结构变动度分析法能够综合表达住院费用内部结构的构成变化，反映医疗费用结构变化的总体特征[2, 3]。

生丁：记所以Sn=An2+Bn.

又Sn3=（Sn）3，所以An6+Bn3=（An2+Bn）3，即n3（An3+B）=n3（An+B）3，

即An3+B=（An+B）3，展开整理得An3+B=A3n3+3A2Bn2+3AB2n+B3，令n=1，2，3，4得四个方程组，再化简可得所以

解之得A=B=0，或B=0，A=±1（舍负），或A=0，B=±1（舍负），所以对应的通项公式为an=0，或an=2n-1，或an=1.

教师：利用整体代换思想很好，但你为什么要舍去负值？你检验了吗？

生丁：直觉告诉我，好像不合适，所以我就将负值舍去了.

教师：直觉猜想一定可靠吗？既要大胆猜想，又要小心论证！

生戊：负值也合适，最后的解题过程应该是分类讨论：

①当A=B=0时，Sn=0，所以an=0.

②当A=0，B2=1时，B=1或-1，所以Sn=n 或Sn=-n，所以或

③当B=0，A2=1时，A=1或-1，所以Sn=n2或Sn=-n2，所以或综上所述，{an}的通项公式为：an=0，或an=1，或an=-1，或an=2n-1，或an=-2n+1.

教师：答案正确！表述规范！

生丙：我的方法也可以解到底了，我已经做出来了，接前面解法，对一切n∈N*都成立，取n=1，2，3，4，也是得到四个方程，利用加减消元法并化简整理，且即可得到：

当d=2时，a1=1（（a1-1）2=1舍去）；当d=-2时，a1=-1（（a1+1）2=1舍去）.

综上所述，{an}的通项公式为：an=0，或an=1，或an=-1，或an=2n-1，或an=-2n+1.

教师：正确！你们的解题过程实质是完全相同的，生丁的思路整体换元，而生丙的思路直接使用基本量法求解，看上去较复杂，实质还是简单的.

生甲：这题好像是之前做过的，原来的等式条件是：Sn2=（Sn）2；结果是：通项公式为an=0，或an=1，或an=2n-1.

生丙：好像是哪一年的高考题.

教师：是2004年高考江苏卷倒数第2题的第（2）小题，也算是压轴题，你们看一看，高考题一改编后，答案就不同了，你们能想到什么？

众生：推广！怎么推广？

生戊：我尝试了一下：

已知无穷等差数列{an}的前n项和为Sn，存在正整数k（k≥2），使得Snk=（Sn）k对一切的n∈N*都成立，求数列{an}的通项公式.

利用刚才的设法Sn=An2+Bn，由已知得nk（Ank+B）=nk（An+B）k，即Ank+B=（An+B）k.再利用二项式定理展开，则有Ank+B=C0kAknk+C1kAk-1nk-1B+…+对一切n∈N*都成立，比较等式两边ni的系数，得所以

我猜测，n为偶数时有三个通项公式an=0，an=1，an=2n-1；n为奇数时有五个通项公式，同原题答案.

教师：答案正确，能否给出具体的推理过程？

生戊：分类讨论，比较繁琐.①当A=B=0时，Sn=0，所以an=0.

②当A=0，Bk-1=1时，若k为偶数，B=1，所以Sn=n，an=1；

若k为奇数，B=1或-1，所以Sn=n或Sn=-n，所以或

③当B=0，Ak-1=1时，若k为偶数，A=1，所以Sn=n2，an=2n-1；

若k为奇数，A=1或-1，所以Sn=n2或Sn=-n2，所以或

综上所述，当k为奇数时，an=0，或an=1，或an=-1，或an=2n-1，或an=1-2n；

当k为偶数时，an=0，或an=1，或an=2n-1.

教师：很好！最后的分类确实有点复杂，这就需要你们具有一定的逻辑推理能力等数学核心素养.

我们围绕数列中的无关思想交流了两道试题，同学们对这两道试题都尝试进行推广，同时也给出了严格证明，很好！数学学习不单纯是做一道道题目，更重要的是要学会不断总结，进行解题回顾，尝试问题能否推广.不仅自己要学会怎样思考，同时也要揣摩他人是怎样思考这道题的；还要琢磨为什么思考方向不同，不同点在哪里，哪一种思考方向更好.从不同的解法中寻找思考的切入点，从对话交流中促进主动思考、自主思考，从实战演练和总结回顾中提升自己的思考力.仍为等差数列，求

1.已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，若数列的所有可能值.

2.已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，首项为1，若数列{Sn+1}为等比数列，求数列{an}的通项公式.

提示：思考一，利用等差（比）数列前三项建立a1与d的方程，从而得出答案，但需要验证；思考二，将an，Sn都用a1与公差d表示，利用待定系数法和无关思想，得出结果，最后也要检验.

答案：1.2.an=2n-1.