对数带来的“简捷”

张居强

16世纪初，当第一张对数表问世后，天文学家兼数学家的拉普拉斯满腔热情地称赞这是一项“使天文学家寿命倍增”的发明，甚至世界知名科学家伽利略还说过：“给我一个空间、时间及对数，我即可创造一个宇宙．”对数及对数函数，同学们学习时常感觉其知识难学，难理解，根本没有感觉到其能带来方便的运用，何德何能享有这么高的评价？笔者仅从几例试题出发，带领同学们感受、体验对数及对数函数给我们、给世界带来的方便．

一、取“对数”——简化运算

对数的重要功能：能够简化运算，通过“取对数”运算，我们可以将乘法运算变成加法运算，除法运算变成减法运算，乘方运算变成倍数运算．因此我们在解题时要提醒自己，需要根据试题结构特点，灵活运用对数及对数函数的性质，实现化繁为简，缩短思维过程，提高解题效率．

例1设a，b，c都是不等于1的正数，且ab≠1，求证：alogcb=blogca．

解析若直接证明比较困难，若考虑该等式两边都是正数且都不等于1，可以对等式两边同时取对数，为了计算方便，处理对数问题时要选择好底数．根据结论我们选择以“c”为底较好．

因为a，b，c都是不等于1的正数且ab≠1，所以要证等式alogcb=blogca成立，只要证logcalogcb=logcblogca，即logcb·logca=logca·logcb，显然该式是成立的．

二、用“图象”——避开运算

对数函数y=logax（a＞0且a≠1）的图象必经过两个点（1，0）和（a，1），我们不妨称之为对数函数的两个特征点．对数函数y=logax（a＞0且a≠1）的图象中，直线x=1反映了它的分布特征；而直线y=1与对数函数图象的交点（a，1）的横坐标则直观地反映了对数函数的底数特征．我们可以称x=1和y=1为对数函数的两条对数函数特征线．我们在画图象时就能把握住图象的基本特征，利用对数函数的特征点、特征线处理一些问题，形象、直观，简单易行．

例2已知a＞0，且a≠1，写出方程2loga（x2-5x+7）+5ax2-2x-3-5=0的一个解x= ．

分析由试题的结构特点，不能直接求解，易想到用数形结合来求解，难点在于如何把题目的方程转化为已知函数图象问题，只要将题目分解成两个部分，问题就可解决．

解设f（x）=2loga（x2-5x+7），g（x）=5-5ax2-2x-3，根据y=logax（a＞0且a≠1）的图象的特征知其恒过点（1，0），令x2-5x+7=1得x=2或x=3，所以函数f（x）的图象恒过点（2，0）和（3，0）．

而g（x）=5-5ax2-2x-3中，令x2-2x-3=0时，即有x=-1或x=3，所以函数g（x）的图象恒过点（-1，0）和（3，0）．

由上可知，两函数值都等于0时可得到相同的解x=3．

故方程2loga（x2-5x+7）+5ax2-2x-3-5=0的一个解为x=3．

三、借“情境”——降级运算

对数是随着天文学中解决庞大数据计算的需要而被发明出来的数学概念，而20世纪50年代中计算机的出现与升级，使得对数特有的将复杂的计算简单化的必要性已消失，但是因为对数可以把pH值、里氏地震规模、分贝、星的等级等以几何级别增加的形式简化成以算术级别增加的形式，从而其仍然被人们所广泛使用．

例320世纪30年代，查尔斯·里克特制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大．这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为：M=lgA-lgA0，其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中距离造成的偏差）．

（1）假设在一次地震中，一个距离震中100km的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0．001，计算这次地震的震级（精确到0．1）；

（2）5级地震给人的振感已比较明显，计算7．6级地震最大振幅是5级地震最大振幅的多少倍？（精确到1）

分析在解决实际问题的过程中，我们首先需要在实际的情境中去理解、分析所给的一系列数据，舍弃与解题无关的因素，将之转化为数学模型．而本题中函数模型已确定，处理时只需对问题进行定量分析，套用现成的公式即可把问题解决．

解析（1）M=lgA-lgA0=lg20-=lg20000=lg2+lg104≈4．3．

（2）由M=lgA-lgA0=lg解得A=A0·10M．

当M=7．6时，地震的最大振幅为A=A0·107．6；

当M=5时，地震的最大振幅为A′=A0·105．

即7．6级地震最大振幅是5级地震最大振幅的398倍．