三个角度探讨“正难则反”

顾 俊

反证法是一种常用的间接证明的方法．法国数学家阿达玛（Hadamard）对反证法的实质作过概括：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾．”

用反证法解题的过程包括反设、归谬、存真三个步骤，即假设命题的结论不成立（假定原结论的反面为真）；从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果；由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立．其中“矛盾”包括了推出的结果与已知定义、公理、定理、公式矛盾或与已知条件、临时假定矛盾，以及自相矛盾等各种情形．

使用反证法时要注意适用范围、表达步骤，下面我们分三个层次，分别从反证法中的表达形式（是什么）、归谬方向（怎么做）、方法原理（为什么）这三个角度对反证法做些探讨．

一、证法之初体验——表达形式

王戎七岁，尝与诸小儿游，看道边李树多子折枝，诸儿竞走取之，惟戎不动．人问之，答曰：“树在道边而多子，此必苦李．”取之信然．

同学们，你们知道王戎的聪明之处在哪吗？

王戎的聪明之处在于用了反证法的思维看待这个问题：

已知：道旁李树多子折枝．求证：李子是苦的．

证明：（反证法）假设李子不是苦的，那么一定早被小孩摘光了，但现在树上仍有这么多李子，矛盾．所以道旁的李子是苦的．

不摘李子，而想要直接说明李子是苦的这个事实，我们是不能轻易找到一个简明的叙述方法的．数学语言必须简洁明确，采用反证法的叙述思路，条理清晰，一目了然．在王戎论证的过程中，依据了一个事实：李子不苦的话，就一定被小孩子们摘光了．而在数学中，我们必须从假设出发，用正确的逻辑推理，得出矛盾结果．

下面我们来看看几个数学中的例子：

例1已知函数f（x）是（-∞，+∞）上的增函数，若f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b），求证：a+b≥0．

证明假设a+b＜0，则a＜-b，b＜-a，由于函数f（x）是（-∞，+∞）上的增函数，从而f（a）＜f（-b），f（b）＜f（-a），两式相加有f（a）+f（b）＜f（-a）+f（-b），与已知条件f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）矛盾，所以a+b≥0．

例2已知：两个不同的平面α和β，在平面α内有两条相交直线a，b（交点为P）和平面β平行，求证：平面α∥平面β．

证明假设平面α与平面β不平行，则平面α与平面β相交，记交线为l．

因为a平行于平面β，a在平面α内，平面α与平面β相交于l，所以a∥l．同理b∥l．则过l外一点有两条相交直线与l平行，这与公理“过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行”矛盾，所以平面α∥平面β．

以上的数学例子，直接证明比较困难，而借助反证法得以顺利解决．由于条件与结论相对简单，根据反证法的步骤，同学们能轻松从反设导出矛盾．那么在处理一些比较复杂的问题时，该如何从反设出发，导出矛盾呢？我们继续往下看：

二、证法之细思量——归谬方向

古希腊思想家亚里士多德曾经断言：物体从高空落下的快慢同物体的重量成正比，重者下落快，轻者下落慢．1800多年来，人们都把这个表面上看起来确实“正确”的论断当作真理而信守不移．直到16世纪，伽利略发现了这一理论在逻辑上的矛盾，并通过“比萨斜塔试验”用事实进行了证明．同学们，你们知道伽利略发现的逻辑上的矛盾是什么吗？

逻辑上的矛盾：假定较重的物体下落较快．不妨设甲物体比乙物体重，我们把二者捆在一起，让它们自由下落，一方面，根据假定，因为它们比甲物体更重，所以应比甲物体单独下落快；另一方面，两个重、轻不同物体捆在一起下落，重的要快，轻的要慢，快的被慢的拖拽，故它们下落速度比甲物体单独下落慢．前后矛盾，可见假定较重的物体下落较快是错误的．

在使用反证法时，要从反设出发，导出矛盾，不一定要面面俱到，只要能经过正确的逻辑推理，得到一处矛盾即可判定反设不正确．同学们来找找伽利略发现的逻辑上的矛盾还可能是什么，并说一说“物体从高空落下，轻者下落快，重者下落慢”这句话逻辑上的矛盾．

例3求证：函数y=sinx的正周期不小于2π．

证明一假设T是函数y=sinx的周期，且0＜T＜2π，则对任意实数x都有

sin（x+T）=sinx成立．令x=0得sinT=0，即T=kπ，k∈Z．

又因为0＜T＜2π，故T=π，从而对任意实数x都有sin（x+π）=sinx，

所以，函数y=sinx的正周期不小于2π．

证明二 假设T是函数y=sinx的周期，且0＜T＜2π，则对任意实数x都有sin（x+T）=sinx成 立．令得，即cosT=1，从而T=2kπ，k∈Z，这与0＜T＜2π矛盾．所以，函数y=sinx的正周期不小于2π．

例4设f（x）=x2+ax+b，求证：中至少有一个不小于．

由①×（-1）+②可得-1＜3+a＜1，所以-4＜a＜-2；

由②×（-1）+③可得-1＜5+a＜1，所以-6＜a＜-4，a的范围前后矛盾．

命题结论中含有“否定形式”“最大（最小）”“至多（至少）”时，常用反证法．归谬方向可以是由反设推出的结论与反设本身矛盾（如例3证明二），也可以是导出的结论间自相矛盾（如例3证明一、例4），因此，在学习过程中，同学们要细分析、多体悟，方能掌握反证法的精髓．

最后让我们来了解一下反证法能成功的秘密所在．

三、证法之深探究——方法原理

古代有一个迷信神的国家，死囚在正式处决之前，还有一个由神来决定生死的程序．办法是：由专职狱吏在两张小纸条上分别写上“活”“死”两字，密封后交专人保管．第二天，由死囚抽取一张，若抽到活字，即可免死．有一次，一个死囚的仇人买通了写纸条的狱吏，在两张纸条上都写上死字．凑巧这死囚预先从一位朋友那里得到了这一消息，他心中大喜．第二天，他抽纸条后，死罪赦免，终于得救了．这是怎么回事呢？

分析 真相原来是这样的：主持抽签狱吏宣布抽签办法后，死囚飞快抽了一张纸条，立即塞进嘴里嚼烂吞入腹中，狱吏慌忙斥问死囚：“你抽得的纸条上，写的是死字还是活字？快说！”死囚答道：“纸条我吞了，表示是死是活我都认了．究竟神要我死还是要我活，您看看剩下的纸条上写的什么字就清楚了．”在场的见证人急于知道结果，齐声说：“对”！因剩下的纸条上写的是死字，证明死囚抽的是活字，死囚获赦了．巧用矛盾律和排中律，活了一条命．

反证法的依据是逻辑思维规律中的矛盾律和排中律．矛盾律：在同一个思维过程中，两个互相矛盾（包括互相否定）的命题不能同时都是真的，其中必有一个是假的；排中律：两个互相否定的命题不能同时都是假的，其中必有一个是真的．

牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一．”一般来讲，反证法常用来证明的题型有：命题的结论以“否定形式”“至少”或“至多”“唯一”“无限”形式出现的命题；或者直接证明时思路难寻、表达晦涩，而否定结论则更明显（即为正难则反）．

同学们在学习中勤思考、多总结，方能领悟反证法的精妙所在，使用起来才更得心应手．