变分法在弹性力学中的应用

万泽青

（扬州大学 建筑科学与工程学院，江苏 扬州 225127）

1 引言

对一个实际的弹性力学问题而言，其几何特征、受力特征以及边界约束条件往往是十分复杂的，要精确地求得弹性力学问题的解不但是复杂的，而且往往是不可能的.因此，伴随弹性理论的建立，寻求弹性力学问题的各种解法（包括近似解和数值解）便成为许多力学工作者、应用数学工作者的一个重要研究领域.

从数学的角度而言，对于特定边界条件下求一个泛函的极值问题和在适当条件下求解一个微分方程的边值问题是等价的[1].这种将弹性力学的边值问题用相应泛函的极值问题来表述并求解的方法就是所谓的变分法，这是工程实际中广泛采用的一种有效的近似方法.

2 变分法的实质

设要求过平面上A、B两点的曲线y(x)使其具有的长度最短（图1），这是一个简单的短程线问题.显然，与这个问题相应的泛函为

图1

要求y(x)使L具有最小值.为使积分存在，需要求允许函数y(x)的区间[a,b]上的连续可微函数，并且在端点x=a和x=b处，具有给定值y(a)及y(b).因而，泛函L[y(x)]的允许函数类为{y(x)}={y(x)∈C1[a,b]，且 y(a)和 y(b)给定}.

这个问题属于寻找y(x)是一个什么样的函数可以使得泛函取极小值，这就是变分法的实质.变分法是把物理或力学基本微分方程的定解问题变为求泛函的极值问题；在求近似解时，又往往将泛函的极值问题转变为求函数的极值问题，从而把微分方程边值问题的求解归结为线性代数方程组的求解.

3 应用举例

随着近代科学技术的发展，变分法的内容更加丰富和广泛了，并且已经发展成为数学的一个分支——变分学.作为变分原理的一种重要应用，下面研究工程上常见结构的变分原理，并由此推出平衡微分方程和力的边界条件.

图2

设有一弹性梁，材料弹性模量为E，如图2所示.设x=0端固定，x=l端自由，并承受轴向力N、集中力偶矩M和分布荷载q(x)的作用.可由变分原理导出此梁的挠度微分方程和x=l端力的边界条件.

首先计算梁的总势能.根据材料力学的平截面假设，可以忽略切应变，因而轴向线应变

而

式中，w是轴线的挠度，ρ为曲率半径，σx为横截面上正应力，M为x截面的弯矩，惯性矩I=∬y2dydz.于是，梁的应变能为

而外力做的功为

式中，θ(l)=w'(l).故梁的总应变能为

根据最小总势能原理，平衡时梁的总势能取极小值[2]，故有

这里采用的就是变分法，即求泛函的极值方法.

利用分部积分，并注意到微分和变分可交换次序，于是，(5)式可写成

由于δw的任意性，故得欧拉方程

(7)式即为问题的平衡微分方程.在边界上有

由于x=0端是固定的，因而虚位移必须满足条件

同时，在x=l端是自由的，故虚位移δw(l)和δw'(l)不受任何约束，从而得到x=l端的自然边界条件为：

(10)式中两个表达式表示在梁的自由端同时受力偶和轴向力作用时的边界条件.若自由端无外力作用，则边界条件为

4 结束语

从上面的讨论可以看出，应用变分原理的几个主要步骤是：

（1）从给定力学问题的特点出发，建立能量泛函并给定允许函数类；

（2）通过对该泛函的变分，由泛函极值的必要条件δI=0推导欧拉方程和自然边界条件.最后，可在基本边界条件和自然边界条件下，求解欧拉方程.

显然，数学中的变分法与力学中的很多问题有着密切的关系，对解决某些力学问题有着重要的作用.